19 5

当一个人拿到19时，下一个人就要拿5了，故游戏结束，拿了7个．剩25?7?18(个)．

【例 11】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋

子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)

【解析】 由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子

仍为偶数．因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子．

【巩固】 (第四届“走美”试题)30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、??的次序串

成一圈．一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．

【解析】 这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、??的次序串成一圈，那么每10粒珠子

一个周期，我们可以推断出这30粒珠子数到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒??的时候，会是黑珠子．刚才是从第10粒珠子开始跳，中间隔6粒，跳到第17粒，接下来是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒，一直跳到59粒的时候会是黑珠子，所以至少要跳7次．

【巩固】 在黑板上写上1、2、3、4、??、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两

个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？

【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为1?2?3???2008?2009?1004是一个

偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了(a?b)，它们的和减少了2b，即减少了一个偶

数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．

【例 12】 桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一

步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？

【解析】 不可能．事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩下了n堆石子，每堆3粒，则在此之前

一共进行了(n?1)次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作n?1次后分成

粒石子．因此，3n?(n?1)?1001，

得到4n?1002，但1002不是4的倍数，说明n不是整数，导致矛盾．所以不可能．

【巩固】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一

石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问，能否做到：⑴某2堆石子全部取光？⑵3堆中的所有石子都被取走？

【解析】 要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一

堆先取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了．而题中数字正好能满足要求．所以，全部取光两堆是可以的．

对于第二个问题，要取走全部3堆，则必须3堆石子的总数是3的倍数才有可能，但1989、989、89之和并非3的倍数，所以是不可能的．

⑴可以取光其中的两堆石子．如进行如下的操作： 第1堆 第二堆 第三堆

1989 989 89

1900 900 0 (第一步：三堆各取走89块)

1900 450 450 (第二步：第二堆900是偶数，将其一半移入第三堆) 1450 0 0 (第三步：三堆各取走450块)

⑵不能将三堆全部取光． 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子，那么每次

8-5.操作与策略.题库 教师版 page 5 of 24 ．而每操作一次，都扔去一粒石子，所以一共扔去(n?1)n堆）

取走的石子数都是3的倍数，则不论怎么取，取走的石子总数是3的倍数，

而1989?989?89?3067，3067被3除余1，不是3的整数倍，所以不能将三堆石子全部取光．

【例 13】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚

伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？

【解析】 101枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等．因此应该首先拿掉一个，把剩

下的100枚硬币在天平两边各放50个．如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是伪币．只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了． 如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币还在这100个硬币中．可以拿出其中比较轻的50个．这时同样还是把他们分成两个25枚，分到天平两边称重．

如果两边重量相等，说明这50个硬币都是真的．伪币在比较重的那50个中，因此伪币就应该比真币重．如果两边重量不相等，说明伪币就在这50个比较轻的硬币中，显然伪币就应该比真币轻．同样道理，也可以把比较重的那50个硬币分成两个25进行称重，同样也可以得出结论

【巩固】 9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）? 【解析】 第一次在左右两托盘各放臵3个：

(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的．从中任取两个分别放在两托盘内：①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩下的一个是假的； (二)如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的．从中任取两个分别放在两托盘内：①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩下的那个是假的．

这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻，重，平)，所以分成3堆是很常见的分法．

【巩固】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称

量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？

【解析】 第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个

药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.

【例 14】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，

希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？

【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由

于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是： 1．大瓶往中瓶中倒满水．

2．中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水． 3．小瓶中水倒回大瓶．

4．中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记． 5．小瓶中水倒回大瓶．

6．中瓶中100克水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水．

本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的．

【例 15】 (第七届“华杯赛”决赛)对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1.

如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？

【分析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1

个，即4，经3次操作变为1的2个，即3，8，…，经6次操作变为1的有8个，即11，24，10，28，13，30，64，31.

于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为

1，1，2，3，5，8，… ①

这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即 2?1?1，3?2?1，5?3?2，8?5?3，… 如果这个规律正确，那么8后面的数依次是

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8?5?13，13?8?21，21?13?34，… 即经过9次操作变为1的数有34个. 为什么上面的规律是正确的呢？

道理也很简单. 设经过n次操作变为1的数的个数为an,则a1?1，a2?1，a3?2，…

1112312487146524102813161530643231

从上面的图看出，an?1比an大. 一方面，每个经过n次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过n?1次操作变为1；反过来，每个经过n?1次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n次操作变为1的数. 所以经过n次操作变为1的数与经过n?1次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是an,因此后者也是an个.

另一方面，每个经过n次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过n?1次操作变为1，反过来.每个经过n?1次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n次操作变为1. 所以经过n次操作变为1的偶数经过n?1次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说，前者的个数就是an?1,因此后者也是an?1.

经过n?1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以

an?1?an?an?1 ②

即上面所说的规律的确成立.

满足规律②，并且a1?a2?1的一串数 ①称为裴波那契数列，斐波那契（Fibonacci,约1175—1250）是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用.

模块二、制定最优的设计方案

【例 16】 小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要

2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？

【解析】 要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短：

第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：2?1?3(分钟)；

第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了6?2?8(分钟)； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟；

所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用3?8?2?13(分钟)．

【巩固】 (03年迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河

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的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥??直到4人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟;小红单独过桥要2分钟;小蓉单独过桥要2.5分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟？

【解析】 (方法一)要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送

回，这样就能保证时间最短了．

第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5?1?2.5(分钟)； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2?1?3(分钟)； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；

所以，4个人都通过小木桥，最少用2.5?3?2.5?8(分钟)．

(方法二)要想用最少的时间，4人都能过桥，保证时间最短还可以：

第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5?1?2.5(分钟)；

第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回，共用了2.5?1.5?4(分钟)； 第三步：最后小强与小小明一起过桥用了1.5分钟；

所以，4个人都通过小木桥，最少用2.5?4?1.5?8(分钟)．

【例 17】 (圣彼得堡数学奥林匹克)牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类

空瓶的业务．每5个空瓶可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱．谢辽沙从地窖里找到了60个空瓶，拿到商店去换物品．他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换到的牛奶或李子果酱都吃掉后，再拿空瓶去换物品．在进行了若干次交换之后，他手中只剩下了1个空瓶．问：他一共进行了多少次交换？

【解析】 设谢辽沙有欠换得牛奶，有y次换得李子果酱．每换回1瓶牛奶，他手中的瓶子都减少4个(他

付出5个空瓶，换回1个装有牛奶的瓶子)；而每换回1瓶李子果酱，他手中的瓶子都减少9个．题

意表明，在进行了所有的交换之后，他手中的瓶子一共减少59个，故有4x?9y?59．由于x与y都是非负整数，所以y?7，并且59?9y是4的倍数．经过列举，知仅当y?3时，59?9y?32是4的倍数，所以x?8，y?3是唯一解．即一共进行了x?y?11(次)交换．

【例 18】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它

一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把 根香蕉带回家？

【解析】 首先，猴子背着100根香蕉直接回家，会怎样？在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉，其

他200根香蕉白白浪费了！

折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案．300?100?3．猴子必然要折返3次来拿香蕉．

我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉． 猴子的路线：

储存点A野香蕉园x10xA①②③④10y⑤⑥家y储存点BB

这两个储存点A与B就是猴子放臵香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是： (一)当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉．

(二)当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好(即身上还有100个) (三)B点同上．

XA的距离为10x，路上消耗x个香蕉．AB的距离为10y，路上消耗y个香蕉．

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