c2
∴椭圆的离心率e＝＝.
a2
x2y2
3．(2018·重庆检测)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，
92则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．120° C．150° D．30° 答案 B
x2y2
解析 ∵椭圆＋＝1中，a2＝9，b2＝2，
92∴a＝3，b＝2，c＝a2－b2＝7， 可得F1(－7，0)，F2(7，0)．
根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， 结合|PF1|＝4，得|PF2|＝6－|PF1|＝2. 在△F1PF2中，根据余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2， ∴(27)2＝42＋22－2×4×2cos∠F1PF2， 1
解得cos∠F1PF2＝－. 2
结合三角形的内角，可得∠F1PF2＝120°.故选B.
x22→→4．设F1，F2分别为椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1＋PF2|＝23，则∠F1PF2
4等于( )
ππππA. B. C. D. 6432答案 D
→→→→→解析 因为PF1＋PF2＝2PO，O为坐标原点，|PF1＋PF2|＝23，所以|PO|＝3，又|OF1|＝|OF2|＝3，
π所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝. 2
x2y2→→
5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1·PF2＝9，则
1612|PF1|·|PF2|的值为( ) A．8 B．10 C．12 D．15 答案 D
x2y2→→→→解析 由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而F1F2＝PF2－PF1，所以|F1F2
1612→→→→→→→→→→|＝|PF2－PF1|，两边同时平方，得|F1F2|2＝|PF1|2－2PF1·PF2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2
→→|2＋2PF1·PF2＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64， 所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.
6．(2018·营口调研)2016年1月14日，国防科工宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
c1c2
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.
a1a2其中正确式子的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 D
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1a2－c2a1a2c1c2
a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，
c1c2c1c2a1a2③式不正确．故选D.
7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________． x2y2y2x2
答案 ＋＝1或＋＝1
259259
2c＝8，????a＝5，解析 由题意知?c解得?
?c＝4，＝0.8，???a
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
x2y2
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
259y2x2
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
259
x2y2
8．设F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B
ab两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为__________． x2y2
答案 ＋＝1
96
解析 ∵△F2AB是面积为43的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代b2
入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝. a又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°， b23
∴＝×2c.① a3
12b2
又SVF2AB＝×2c×＝43，②
2aa2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3， x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
96
x2y2y2x2
9．已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与椭圆C2：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，
abab16
若椭圆C1的一个焦点F(－2，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为
3______． 答案
2 2
x2y2
＋＝1，a2b2
2
22
2
?解析 联立?yx
?a＋b＝1，
a2b2
， a2＋b2
x2－y2x2－y2
两式相减得2＝2，又a≠b，
ab所以
x2＝y2＝4a2b216
故四边形ABCD为正方形，22＝，(*)
3a＋b
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
所以椭圆C的离心率e＝
2. 2
2
y2
10．已知A，B，F分别是椭圆x＋2＝1(0 b接圆的圆心坐标为(p，q)．若p＋q>0，则椭圆的离心率的取值范围为______________． 2 答案 ?0，? 2??解析 如图所示， 1－1－b21b?线段FA的垂直平分线为x＝，线段AB的中点为??2，2?. 21因为kAB＝－b，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝， b1b1 x－?. 所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝?2b?2?1－1－b2 把x＝＝p代入上述方程可得 2b2－1－b2y＝＝q. 2b 1－1－b2b2－1－b2 因为p＋q>0，所以＋>0， 22b化为b>1－b2. 1