§9.5 椭 圆

最新考纲 考情考向分析 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a

标准方程 x2y2＋＝1 (a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 范围 对称性 顶点坐标 性质 轴 焦距 离心率 a，b，c的关系

－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝∈(0,1) aa2＝b2＋c2 概念方法微思考

1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？

提示 当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ c

提示 由e＝＝a椭圆越圆．

3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断． 提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种

2

x2y00

(1)点P(x0，y0)在椭圆内?2＋2<1. ab2

x2y00

(2)点P(x0，y0)在椭圆上?2＋2＝1.

ab2

x2y00

(3)点P(x0，y0)在椭圆外?2＋2>1. ab

b?21－??a?知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，

4．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？

提示 直线与椭圆的位置关系有三种的方程：相离、相切、相交． 判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ. (1)直线与椭圆相离?Δ<0. (2)直线与椭圆相切?Δ＝0. (3)直线与椭圆相交?Δ>0.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )

(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) y2x2

(3)2＋2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × ) abx2y2y2x2

(4)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ ) abab题组二 教材改编

x2y22．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )

10－mm－2A．4 B．8 C．4或8 D．12 答案 C

解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.

当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8. ∴m＝4或8.