第2章条件概率与独立性

一、大纲要求

（1）理解条件概率的定义.

（2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. （3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.

（4）了解独立重复试验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用.

二、重点知识结构图

概率 定义：P(B|A)?P(AB) P(A)条件概率 乘法公式： P(AB)?P(A)P(B|A) 事件独立性的定义 全概率公式： 独立试验概型 P(A)??P(Bi)P(A|Bi) i?1n贝叶斯公式 二项概率公式 三、基础知识

1.条件概率

定义设有事件A、B，且P(B)?0，在给定B发生的条件下A的条件概率，记为P(A|B)，有

P(A|B)?2．乘法公式

P(AB) P(B)定理若对于任意事件A、B，都有P(A)?0,P(B)?0，则

P(AB)?P(A)P(B|A)?P(B)P(A|B)

这个公式称为乘法定理.

乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形.

定理设A1,A2,?,An为任意n个事件（n?2），且P(A1A2?An?1)?0，则有

P(A1A2?An?1An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An?1)

3．全概率公式

定理设B1,B2,?为一列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有

?Bi?1??i??P(Bi)?0(i?1,2,?)

则对任一事件A，有P(A)??P(Bi)P(A|Bi).

i?1 4.贝叶斯公式

定理设B1,B2,?为一系列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有

?Bi?1?i??P(Bi)?0(i?1,2,?)

则对任一具有正概率的事件A，有

P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?

?P(B)P(A|B)jjj?1 5.事件的相互独立性

定义若两事件A、B满足，则称A、B（或B、A）相互独立，简称独立. 定理若四对事件A、B;A、 B;A则另外三对事、B；A、 B中有一对是相互独立的，件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.

定义设A1，A2， ?，An是n个事件，若对所有可能的组合1?i?j?k???n成立：

2个） P(AiAj)?P(Ai)P(Aj)（共Cn3个） P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj)P(Ak)（共Cn?

n个） P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)（共Cn则称A1,A2,?An相互独立.

定理设n个事件A1,A2,?An相互独立，那么，把其中任意m（1?m?n）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立.

6. 重复独立试验，而且这些重复试验具备：（1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一个事件的出现概率相同；（2）各次试验结果相互独立；满足这两个条件的n次重复试验，称为n重独立试验.

定理（二项概率公式）设在一次试验中，事件A出现的概率为P(A)?p(0?p?1)，则在n重伯努利试验中，事件A恰好出现k次的概率Pn(k)为

kkn?kP(k?0,1,2,?,n) n(k)?Cnpq式中，q?1?p?P(A) 四、典型例题

例1掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率.

解同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为n?6?6?36.若设A={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此时事件A所包含的样本数为k?2?6?12.设B={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则AB={（3,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}，故

P(A)?1215P(AB)5?，P(AB)?? ，P(B|A)?36336P(A)12例2袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率. 解设Ai={第i个人摸到黄球} (i?1,2)，则

P(A1)?202? 505P(A2)?P(A2|A1)P(A1)?P(A2|A1)P(A1)?1922032???? 4954955例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；（2）三次射击中至少有一次命中的概率.

解设Ai={第次命中}，B={恰有一次命中}，C={至少有一次命中}，则 （1）P(B)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

（2）P(C)?1?P(A1A2A3)?1?0.6?0.5?0.3?0.91

例4 设三次独立试验中事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为19/27，求事件A在一次试验中出现的概率.

解由于P3{k?1}?1?P3{k?0}?1?(1?p)3?191

解得p? 273

例5 掷三枚均匀骰子，设A={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}，B={至少有一枚骰子掷出1}，问A、B是否独立？

解考虑P(A|B)，若B发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生（2,3,4,5,6），比不知B发生时可能取的点数（1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个（可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即P(A)?P(A|B).由此可以推出P(A)?P(A|B)，故A、B不独立.

例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设

P(阳性|带菌)?0.99，P(阴性|带菌)?0.01 P(阳性|不带菌)?0.05，P(阴性|不带菌)?0.95

设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？

解设A={某人检出阳性}，B1={带菌}，B2={不带菌}