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数学经典问题·商高定理

（毕达哥拉斯定理、勾股定理）

若一直角形的两股为a，b斜边为c，则有a2+b2=c2。我们都很熟悉这个性质，人们相信是毕达格拉斯〈约公元前560年~公元前480发现的，因此把它叫做毕氏定理。毕氏定理也可以用几何的形式来解释，那就是直角三角形直角边上的两个正

方形的面积和等於斜边上正方形的面积。如下图所示：

传闻这个定理有一个绰号叫“新娘图”，又有人称为“新娘的椅子”，可能是从其几何图形得到的敏感吧！

中国在商高时代(公元前1100年)就已经知道“勾三股四弦五”的关系，远早於毕达格拉斯，因此有人主张毕氏定理应该称呼为商高定理，但普遍性的定理则在陈子时代(公元前6﹑7世纪)，而提出定理的证明则首推赵君卿(见周髀的赵君卿注)。赵氏是三世纪的人，现在这个定理普通称为勾股弦定理或勾股定理。

毕达格拉斯曾提一组勾股数的正数数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特点是斜边与其中一股的差为1。柏拉图也给了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此时斜边与其中一股之差为2。但他们都不是方程式a2+b2=c2的所有解，全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m>n）是互质且一奇一偶的任意正整数。

数学经典问题·蜂窝猜想

加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。

四世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代

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表。他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为“蜂窝猜想”，但这一猜想一直没有人能证明。

美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想。蜂窝是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小。6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好120度，形成一个完美的几何图形。人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关。由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形。

1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢？陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是正确的。

数学经典问题·哥德巴赫猜想

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学

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家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9 + 9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9＋9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理（Chen's Theorem）——“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

在陈景润之前，关於偶数可表示为 s 个质数的乘积与 t 个质数的乘积之和（简称“s + t ”问题）之进展情况如下：

1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 \。

1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了\。

1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 \。

1937年，意大利的蕾西(Ricci)先後证明了\和\\

1938年，苏联的布赫夕太勃（亦译布赫斯塔勃）证明了\。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了 \。

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了\，其中 c 是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了 \。

1957年，中国的王元先後证明了 \和 \。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 \， 中国的王元证明了\。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋

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比利(Bombieri)证明了\。

1966年，中国的陈景润证明了 \。

最终会由谁攻克 \这个难题呢？现在还没法预测。

数学经典问题·费马最后定理

被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是“在陈年数学困局中，终於有人呼叫‘我找到了’”。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13...等等。

费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。

当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P. Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。

二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1

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