μ＝1??∴?λ＝1??λ＋μ＝0

，此方程组无解．

即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)成立，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．

用基向量表示空间向量

图3－1－10

如图3－1－10，四棱锥P－OABC的

→→→

底面为矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC，PB的中点，→→→→

试用a，b，c表示：BF，BE，AE，EF.

【思路探究】

选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量

→1→1→→

【自主解答】 连结OB，则BF＝BP＝(BO＋OP)

221→→→

＝(－OA－OC＋OP)＝ 2111－a－b＋c. 222

→→→1→1→→BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP)

22

111

＝－a＋(－b＋c)＝－a－b＋c.

222

→→→→→1→→→1→→11

AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋PC＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b

22221

＋c. 2

→1→1→1EF＝CB＝OA＝－a.

222

1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．

2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．

图3－1－11

→→

如图3－1－11，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，

＝

→→

c，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AM；(2)AN.

→1→

【解】 (1)AM＝(AC＋

21＋c. 2

1→→→)＝(AB＋AD＋AD＋2

11

)＝(a＋2b＋c)＝a＋b22

→1

(2)AN＝(

2

＋

1→→)＝[(AB＋AD＋2

→)＋(AD＋

→1→

)]＝(AB＋2AD

2