空间向量的坐标 【问题导思】 空间直角坐标系中,点的坐标与向量坐标有何联系与区别?
【提示】 在空间直角坐标系中,当起点为原点时,向量坐标就是其终点坐标;当起点不是原点时,向量坐标是终点坐标减去起点坐标.所以向量坐标不是点的坐标,而是终点坐标与起点坐标的差值.
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在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则AB=(a2-a1,b2-b1,c2-c1);当空间向量a的起点移至坐标原点时,其终点坐标就是向量a的坐标.
空间向量的坐标运算 【问题导思】 空间向量的坐标运算与几何运算相比较,有哪些好处?
【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算,运算起来更为简捷方便. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量的加法 向量的减法 数乘向量 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
基底的判断 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,
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且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,试判断{OA,OB,OC}能否作→
为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
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【思路探究】 判断{OA,OB,OC}能否作为基底,关键是判断它们是否共面,一般假
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设其共面,利用共面向量定理分析;求OD的表示式,设OD=pOA+qOB+zOC,利用待定系数法求系数.
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【自主解答】 假设OA、OB、OC共面,由向量共面的充要条件知存在实数x、y使OA→→
=xOB+yOC成立.
∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3, ∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底, ∴e1,e2,e3不共面, -3x+y=1,??
∴?x+y=2,??2x-y=-1,
此方程组无解,
→→→即不存在实数x、y使OA=xOB+yOC, →→→
∴OA,OB,OC不共面.
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故{OA,OB,OC}能作为空间的一个基底. →→→→
设OD=pOA+qOB+zOC,则有2e1-e2+3e3
=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3
∵{e1,e2,e3}为空间的一个基底, p-3q+z=2,??
∴?2p+q+z=-1,??-p+2q-z=3,
p=17,
??
解之得?q=-5,
??z=-30,
→→→→
∴OD=17OA-5OB-30OC.
1.判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助,进行判断.
2.求一向量在不同基底下的表示式(或坐标),一般采用待定系数法,即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标),转化为在原基底下的表示式,对比系数.
若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底. 【解】 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a)成立,即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底, ∴a,b,c不共面.