数论问题应用

一． 整除问题：

1. 求出所有的p,q，满足：p?q?6?且q?p?7?。

2. 已知N为正整数，恰有2005个正整数有序对?x,y?满足??证明：N是完全平方数。

3. 证明：存在无限多个正整数对?m,n?，使得

m?1n?1?为正整数。 nm1x1y1，Nnr?，证明：4. 设实数r?1，满足：对任意m,n?N*，若mn，则?mr??r是一个整数。

5. 称正整数n具有性质P，如果由n|?an?1??a?Z?可推出

n2|?an?1??a?Z?，求证：（1）每一个素数具有性质P，（2）有无

穷多个合数具有性质P。

6. 求所有的正整数a与b，使得a、b不相等，b2?a是一个质数的幂，并且b2?a|a2?b。

7. 设n是正整数，证明：若n的所有正因子之和是2的幂，则这些正因子的个数也是2的幂。

8. （1）已知p是大于3的质数。证明：p2被24除的余数为1. （2）求所有使p2?2543具有少于16个不同正因子的质数。

n3?19. 试求所有的正整数对?m,n?,使得：为整数。

mn?1

10. 已知x为大于 3的整数，且n?x6?1，令pk（p为质数，且k?N?）为n的一个因子，证明：p3k?8n。

11. 设m是正整数。如果2m?1?1整除32m?1，证明：2m?1?1是质数。

12. 若正整数a,b使15a?16b和16a?15b都是正整数的平方，求这两个平方数中较小的数能够取到的最小值。

13. 若正整数n?n?1?，满足n2?2n?1?，证明：3n。

14. 设a,b,c是正整数，且abc?c2?c?1?,?c2?1??a?b?，证明：a,b中有一个等于c，另一个等于c2?c?1。

二． 同余问题：

15. 设一个正整数满足下列性质：其所有模为4不余2的正因数之和等1000.求满足上述性质的所有正整数。（08日本）

16. 证明：若?a,b??1,p为质数，且p?a2?b2?,则p??1?mod4?。

k?2p?217. 设素数p?3,k???，证明：p|?Cip。

?3?i?118. 已知p是奇素数，证明：?k2p?1?k?1p?1p?p?1?modp2? ?2

19. 设r1,r2,,rm是给定的m个正有理数，且?rk?1，对任意正整数n，

k?1m定义：f?n??n???rkn?，求f?n?的最大值和最小值。其中?x?表

k?1m示不超过x的最大整数。

20. ?x?表示不超过x的最大整数，对任意正实数x，集合

A?x????n?x?n?N，求所有大于1的无理数?，使得：若正实数??满足A????A???，则

?为整数。 ?

三。重要定理的应用：

mm21. 设a1,a2,...,an是n个有理数，已知对任意m?N?，数a1m?a2?...?an都为整数。证明：a1,a2,...,an都是整数。

d?2m?m?。22. 证明：对于每一个正整数d，存在一个整数m，使得：

23. p是大于3的质数，证明：（1）?p?1??1至少含有一个不同p的质因子。（2）设?p?1??1??pi?，其中p1,p2,,pn是互不相等

ippni?1的质数，?1,?2,

p2。 ,?n为正整数，则?pi?i?2i?1n