课时训练 16 正态分布 (限时：10分钟) 1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( ) A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案：A 2．如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)等于( ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 答案：A 3．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( ) A．22.8% B．45.6% C．95.44% D．97.22% 答案：C 4．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X＞a－1)，则实数a的值为__________． 解析：因为随机变量X～N(1,52)，所以正态曲线关于x＝1对称，因为1P(X≤0)＝P(X＞a－1)，所以0与a－1关于x＝1对称，所以2×(0＋a－1)＝1，所以a＝3. 答案：3 5．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密209?1??x?72度函数是f(x)＝e，x∈R.试求光通量在下列范围内的白炽灯的个62π数． (1)(209－6,209＋6)． (2)(209－18,209＋18)． 解析：由于X的概率密度函数为 2

1e， 62π所以μ＝209，σ＝6. 所以μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18. 因此光通量X的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4. (1)光通量X在(209－6,209＋6)范围内的白炽灯个数大约是10 000×0.682 6＝6 826. (2)光通量X在(209－18,209＋18)范围内的白炽灯个数大约是10 000×0.997 4＝9 974. f(x)＝ (限时：30分钟) 一、选择题 1．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( ) A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 1?x2解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e.在x＝0时，取最大2π1值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ2π越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3. 答案：D 2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ＞c)，则c的值为( ) A．0 B．μ C．－μ D．σ2 解析：由正态分布密度曲线的性质知：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ. 答案：B 3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ≥c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则2

c＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：方法一：由P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)可知 ?c＋1?＋?c－1?2＝，解得c＝2. 2方法二：∵P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)， ∴正态曲线关于x＝c对称，又N(2,9)，∴c＝2. 答案：B 4．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则( ) A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．不确定 解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等． 答案：C 5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 12解析：∵ξ服从正态分布N(2，σ)，∴P(ξ＜2)＝2. 1∴P(2＜ξ＜4)＝0.8－2＝0.3.∴P(0＜ξ＜2)＝0.3. 答案：C 二、填空题 6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝__________. 1解析：P(－1＜ξ＜0)＝2P(－1＜ξ＜1) 11＝2[1－2P(ξ＞1)]＝2－P(ξ＞1) 1＝2－p. 1答案：2－p 7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为__________． 解析：由X～N(1，σ2)(σ＞0)，知正态曲线的对称轴为x＝1，从而由图像可知P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，所以P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4

＝0.8. 答案：0.8 8．某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率是__________． 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P(30＜X≤70)＝P(50－20＜X≤50＋20)＝0.954 4. 答案：0.954 4 三、解答题 9．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)． 解析：由题意得：μ＝70，σ＝10， P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 11(1)P(ξ＜60)＝2－2P(60＜ξ≤80) 11＝2－2×0.682 6 ＝0.158 7. 11(2)P(ξ≥90)＝2－2P(50＜ξ≤90) 11＝2－2×0.954 4 ＝0.022 8. 答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%. 10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？ 解析：由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，据此质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修． 11．某批待出口的水果罐头，每罐净重X(g)服从正态分布N(184,2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g的概率； (2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g小于等于189 g的概率． 解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5. (1)易知P(X＞186.5)＝P(X＜181.5)，又P(181.5≤X≤186.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，