角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF． （1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）判断△CEF的形状，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABC=90°，

∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°， ∴BE=BF，

∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF， ∴∠ABF=∠CBE． 在△ABF和△CBE中，有∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下： ∵△EBF是等腰直角三角形， ∴∠BFE=∠FEB=45°，

∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°， 又∵△ABF≌△CBE， ∴∠CEB=∠AFB=135°，

∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°， ∴△CEF是直角三角形．

，

25．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG． （1）证明：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；

（3）试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG=CG，请写出你的探究过程．

【解答】解：（1）根据翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG， 在△EFG和△ECG中， ∵

，

∴△EFG≌△ECG（SAS）， ∴FG=GC，

∵线段FG是由EF绕F旋转得到的， ∴EF=FG， ∴EF=EC=FG=GC， ∴四边形FGCE是菱形；

（2）连接FC，交GE于O点， 根据折叠可得：BF=BC=10， ∵AB=8， 在Rt△ABF中， 根据勾股定理得：AF=∴FD=AD﹣AF=10﹣6=4， 设EC=x，则DE=8﹣x，EF=x，

在Rt△FDE中：FD+DE=EF，即4+（8﹣x）=x， 解得：x=5，

在Rt△FDC中：FD+DC=CF， 则：42+82=FC2， 解得：FC=4

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=6，

∵四边形FGCE是菱形， ∴FO=FC=2

，EO=GE，GE⊥FC，

）2+EO2=52，

在Rt△FOE中：FO2+OE2=EF2，即（2解得：EO=

，

∴GE=2EO=2，

×2

=20；

则S菱形CEFG=×FC×GE=×4

（菱形面积=CE×DF，这样计算半径方便） （3）当

=

时，BG=CG，理由为：

由折叠可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE， ∵在Rt△ABF中，∴cos∠ABF=

=

，

，即∠ABF=30°，

又∵∠ABC=90°， ∴∠FBC=60°，EC=BE， ∴∠FBE=∠CBE=30°， ∵∠BCE=90°，[: ∴∠BEC=60°， 又∵GC=CE，

∴△GCE为等边三角形， ∴GE=CG=CE=BE， ∴G为BE的中点， 则CG=BG=BE．

26．（8分）阅读理解 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接

各边中点得到中点四边形EFGH．

问题解决

（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；

（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件 AC=BD且AC⊥BD 时，这个中点四边形EFGH是正方形． 拓展延伸

（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论． 【解答】解：（1）四边形EFGH是平行四边形． 证明：连接AC、BD，

∵E，F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，GH=AC， ∴EF∥HG，EF=HG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形， ∵EF=AC，EH=BD，AC=BD， ∴EH=EF，

∴四边形EFGH为菱形， ∵AC⊥BD， ∴∠HEF=90°，

∴四边形EFGH是正方形， 故答案为：AC=BD且AC⊥BD； （3）四边形EFGH为菱形． 证明：连接AC与BD，

∵△AMD和△MCB为等边三角形， ∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM， ∴∠AMC=∠DMB， 在△AMC和△DMB中，