第22题图

23. （8分）如图，在△ABC中，BC=6，sin A=，∠B=30°，求AC和AB的长．

35

第23题图

24. （8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，点C是弧BD的

中点，AB和CD的延长线交⊙O外一点E.求证：BC=EC．

第24题图

25.（10分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．

（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（结果保留根号）

初三数学期中试卷第5页共9页

（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度 （填“增加”或“减少”）了 cm.（结果保留根号）

图1 图2 图3

第25题图

26. （8分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线． 33（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长． 25

初三数学期中试卷第6页共9页

第26题图

27. （10分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图1，点O为坐标原点，⊙O半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值.

【解决问题】小明经过多次尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由； （2）请直接写出线段OC的最大值． 【迁移拓展】

（3）如图2，BC＝42，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．

的

第27题图

初三数学期中试卷第7页共9页

图1 图2 备用图

28. （10分）如图1，有一块直角三角板,其中AB=16，⊙ACB=90°，⊙CAB=30°，A、B在x轴上,点A的坐标为（20，0）、半径为33的圆M的圆心M的坐标为(-5，33)，

圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒． (1)请直接写出点C的坐标；

(2)当点M在⊙ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，求t的值；

(3)如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM,在运动过程中，是否存在某一时刻，使⊙EMF=90°？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．

图1

图2 第28题图

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