2010/2011 学年 2 学期 概率论与数理统计（A卷 ） 课程考试试题

拟题学院（系） : 数理学院 拟题人: 全校 适 用 专 业: 校对人: （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、填空题（每个小题3分，共15分）

1．袋中有同型号球9只，其中4只白球，5只红球.从中依次取出两个球，取后不放回，则至少有一只红球的概率是________.

2．已知P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.5,P(AB)?0,P(AC)?0.1,P(BC)?0.2，则事件A，B，C中至少有一个发生的概率为________.

3.已知随机变量X1,X2,X3均服从［0，2］上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)?_____ . 4.设X~N(1,3),Y~N(0,4),?XY??221XY，Z??,则X和Z的相关系数232?XZ?________.

5. 设X为一随机变量，且E(X)?1.1,Var(X)?0.1,E(X)?0，则由切比雪夫不等式可知

2P{0?X?2}?________.

二、选择题（每个小题3分，共15分）

1．已知P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,则P(A?B)?（ ）. (A) 0.6； (B)0.4； (C)0.8； (D) 0.7.

2. 已知随机变量X~B(n,p),且E(X)?3.2,Var(X)?1.92,则二项分布中的参数n,p的值为（ ）.

(A) n?6,p?0.6； (B) n?8,p?0.6； (C) n?8,p?0.4； (D) n?6,p?0.4. 3．设随机变量X与Y相互独立, E(X)?E(Y)?0,Var(X)?Var(Y)?1,则

E[(X?Y)2]? （ ）.

(A) 0； (B)1； (C)2； (D) 4.

24. 已知随机变量X~N(?,?)，则随?的增大,概率P{X????}（ ）.

(A)单调减小； (B) 单调增大； (C)增减不定； (D)保持不变.

5. 已知总体X~N(?,?)，?未知，有样本X1,X2,?,Xn，则检验H0:???0时，应选用检验统计量（ ）.

22 1

n(Xi??0)2X??0X??(A) ；(B) ；(C) ； (D) ?. 2?SS?i?1nnnX??0三、计算题（共20分）

1．（ 12分）甲，乙，丙三地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为

111,,，643现从这三个地区任抽取一个人，求(1)此人染病的概率；(2)如果此人感染流行病，分别计算此人是选自甲地，乙地，丙地的概率. 2．（8分）某地有A,B两队进行乒乓球比赛,规定一方先胜3局则比赛结束.设每场比赛A队获胜的概率为0.5,记X为比赛的局数.（1）写出X的分布律与分布函数；（2）求X的期望. 四、计算题（共30分）

1．（12分）随机变量X的分布函数为

x???2F(x)??a?be,x?0,

??0,x?0.2求：（1）常数a,b；（2）X的概率密度函数；（3）P{ln4?X?ln16}. 2．（8分）已知X~N(0,1)，求Y?e的概率密度函数. 3．(10分)设二维随机向量（X，Y）的概率密度为

X?cx2y,x2?y?1,f(x,y)??

?0,其他.(1)试确定常数c；(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y)；(3)讨论X与Y的独立性. 五、计算题（共15分）

1．（6分）已知X~B(100,0.2)，求 P{14?X?30}的近似值. （已知?(1.5)?0.9332,?(2)?0.9772,?(2.5)?0.9938）. 2.（9分）设X1,X2,?,Xn是总体X的一个样本，X的概率密度为

?(??1)x?,0?x?1,f(x)??

其他.?0,其中?(???1)是未知参数，试求?的矩估计量与极大似然估计量. 六、证明题（5分）

已知随机变量X和Y相互独立,均服从正态分布N(0,3)，X1,X2,?,X9与Y1,Y2,?,Y9分别

2为抽自总体X和Y的简单样本，证明统计量U??Xi?19i?19i服从自由度为9的t分布.

2i?Y

2

2010－2011 学年 2学期 概率论与数理统计 （A卷） 试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 适用专业： 全校 书写标准答案人： （答案要注明各个要点的评分标准）

一、填空题（每个小题3分，共15分） 1．

5； 2．0.7； 3. 4； 4. 0； 5. 0.9. 6二、选择题（每个小题3分，共15分）

1． A； 2. C； 3．C； 4. D； 5. C． 三、计算下列各题（共20分）

1．（12分）解 设A=｛此人染病｝，B=｛此人来自甲地｝，C=｛此人来自乙地｝，D=｛此人来自丙地｝，则

1111P(B)?P(C)?P(D)?,…P(A|B)?,P(A|C)?,P(A|D)?, ……………..2

3643分

（1）由全概率公式，有

P(A)?P(A|B)P(B)?P(A|C)P(C)?P(A|D)P(D)1111111???????6343334分

（2）由贝叶斯公式，有

……………………...6

P(B|A)?P(B)P(A|B)

P(A)11?63?2 ……………………….8分 ?19411?P(C)P(A|C)1 ?43? …………………... 10P(C|A)?1P(A)34分

11?P(D)P(A|D)4P(D|A)? ?33? …………………...12

1P(A)94分

2．解 （1）X的分布律为

3

X pk 分

分布函数为

3 1/4 4 3/8 5 3/8 ….…………4

?0,x?3,?1?,3?x?4,?4F(x)?? ……………………………….…6分

5?,4?x?5,?8?1,x?5.?(2)E(X)?3?131333?4??5??3??. …………………………….….8分 48888四、计算下列各题（共30分）

1．（12分）解 （1）由分布函数的性质，得

limF(x)?lim(a?bex??x???x22)?1,即a?1, .…………….2分

x?0?limF(x)?lim(a?be?x?0?x22)?0,即a?b?1, b??1

故 a?1,b??1 ……………………4分 （2）f(x)?F?(x)

??x?2f(x)??xe,x?0, ………………8分

??0,x?0.（3）P{ln4?X?2ln16}??ln16ln4xe?x22dx?[?e?x22]ln16ln4?1 …………………12分 4 2.（8分）设FY(y),fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当y?0时，有 FY(y)?P{Y?y}?P{e?y}?P{?}?0. …………2分 当y?0时，因为g(x)?e是x的严格单调增函数，所以有{e?y}?{X?lny}.因而

xXX1FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?2?再由fY(y)?FY?(y),得

?lny??e?x22dx ………………….…6分

4

(lny)?1?e2,y?0,? fY(y)??2?y ………………….…8分

?y?0.?0,23．(10分) 解 （1）由

????????1421?f(x,y)dxdy???2cx2y dy? dx?c?1,得c?. ……2分

??1??x?4211（2）fX(x)?????f(x,y)dy

?212?12124xydy,?1?x?1,??x2?x(1?x),?1?x?1, …………………5分 ??4??8???0,其他.?0,其他.fY(y)??f(x,y)dx

????75?y212???yxydx,0?y?1,?y2,0?y?1,????2 ………………8分 4??0,其他.?0,其他.?（3）由于f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立 ………………………10分

五、计算题（共15分）

1．（6分）解：由于X~B(100,0.2)，则 E(X)?20,Var(X)?16. …………2分 P{14?X?30}?P{14?20X?2030?20??} 444X?20?P{?1.5??2.5} …………………………4

4分

??(2.5)??(?1.5)

??(2.5)?[1??(1.5)]?0.9270 ………………………

6分

2.（9分）

解：(1) 总体的一阶原点矩

E(X)??xf(x)dx??x?(??1)x?dx???0?1??1， 样本一阶原点矩为X ……………2??2分 令

??1?X，得?的矩估计为 ??2??2X?1. ………………… 4分 ?1?X (2)似然函数为L(?)?(??1)x1x2...xn ……………………………6

5

n???分

即 lnL(?)?nln(??1)???lnx,

ii?1nndlnL(?)n令???lnxi?0 ………………………………8

d???1i?1分

???(1?得?的极大似然估计为 ?nn )?lnxii?1所以?的极大似然估计量为 ????(1?n?n) lnXii?1分

六、证明题（5分）

证明 因为Xi~N(0,32),Y2i~N(0,3)

19所以 X?19?Xi~N(0,1)，Yi~N(0,1) i?139?Y?2V???i??~?29，且X与V相互独立， i?1?3分

199i所以X9?Xii?1V/9???Xi?119?Y29~t9 i9??Y2ii?1???3??i?1

……………………………9

…………2分

…………… 3

5分

6

………………………………