例4 已知P(A)?0.5, P(AB)?0.2, P(B)?0.4, 求

(1) P(AB); (2) P(A?B); (3) P(A?B); (4) P(AB).

例5 观察某地区未来5天的天气情况, 记Ai为事件: “有i天不下雨”, 已知

P(Ai)?iP(A0), i?1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率:

(1) 天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (2) 至少一天不下雨;

例6 某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%,订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A, B的有10%. 求只订一种报纸的概率a. 讲解注意： 思考题

1.设AB??, P(A)?0.6, P(A?B)?0.8, 求事件B的逆事件的概率.

2.设P(A)?0.4, P(B)?0.3, P(A?B)?0.6, 求P(A?B).

3.设A,B都出现的概率与A,B都不出现的概率相等, 且P(A)?p, 求P(B).

第三节 古典概型与几何概型

引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可

1. 10这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象. 一、古典概型

我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同.。因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为：在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件A包含其样本空间S能性均为

中k个基本事件, 即A?{ei}?{ei}???{ei},则事件A发生的概率

12kP(A)?P(?ei)??P(ei)?jkkj?1j?1jkA包含的基本事件数?.称此概率为古典概率.这种确定概率的nS中基本事件的总数方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题. 二、 计算古典概率的方法 基本计数原理：

1. 加法原理：设完成一件事有m种方式,其中第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，……,第m种方式有nm种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为n1?n2???nm.

2. 乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，……，第m个步骤有nm种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 n1?n2???nm.

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3. 排列组合方法：排列公式：(2) 组合公式； (3) 二项式公式.

三、几何概型

古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—几何概型.

（a）设样本空间S是平面上某个区域, 它的面积记为?(S);（b）向区域S上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域A的可能性只与区域A的面积?(A)成比例, 而与区域A的位置和形状无关. 向区域S上随机投掷一点, 该点落在区域A的的事件仍记为A，则A概率为P(A)???(A), 其中?为常数，而P(S)???(S)，于是得??从而事件A的概率为P(A)?1，?(S)?(A) 几何概率 (?) ?(S)注: 若样本空间S为一线段或一空间立体, 则向S“投点”的相应概率仍可用(?)式确定, 但?(?)应理解为长度或体积.

例题选讲：

例1 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求

(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;

(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. 例2将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率:

(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序; (2) 第1号球排在最右边或最左边; (3) 第1号球与第2号球相邻;

(4) 第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).

例3 将3个球随机放入4个杯子中, 问杯子中球的个数最多为1, 2, 3的概率各是多少? 例4将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中, 其中一班4名, 二班5名, 三班6名, 求:

(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率; (2) 3名优秀生被分配到一个班级的概率.

例5 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?

例6 一个袋子中装有a?b个球，其中a个黑球，b个白球，随意的每次从中取出一个球（不放回），求下列各事件的概率：

（1）第i次取到的是黑球； （2）第i次才取到黑球; （3）前i次中能取到黑球. 几何概型

例7 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率. 例8会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率.

思考题

1. 设有N件产品, 其中有M件次品, 现从中任取n件, 求其中有k(k?M)件次品的概率.

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第四节 条件概率

先由一个简单的例子引入条件概率的概念. 一、 条件概率的概念

在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A发生的条件下,求事件B发生的条件概率,记作P(B|A). 定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)?0, 则称P(B|A)?P(AB) (1)为在事件A发生的条件下,P(A)事件B的条件概率.相应地，把P(B)称为无条件概率。一般地，P(B|A)?P(B).

注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.因已知A已发生,故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间. 2. 计算条件概率有两种方法:：a) 在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A)；b) 在样本空间S中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定义计算P(B|A)。

二、乘法公式

由条件概率的定义立即得到:P(AB)?P(A)P(B|A)(P(A)?0) (2)

注意到AB?BA, 及A,B的对称性可得到:P(AB)?P(B)P(A|B)(P(B)?0) (3)

(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.

三、全概率公式

全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。

定理1 设A1,A2,?,An,?是一个完备事件组,且P(Ai)?0,i?1,2,?,则对任一事件B,有

P(B)?P(A1)P(B|A1)???P(An)P(B|An)??

注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算P(B)不易时,可根据具体情况构造一组完备事件{Ai}, 使事件B发生的概率是各事件Ai(i?1,2,?)发生条件下引起事件B发生的概率的总和.

四、贝叶斯公式

利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即,一事件已经发生,要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性. 例如,有三个放有不同数量和颜色的球的箱子,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.或问:该球取自哪号箱的可能性最大?

定理2 设A1,A2,?,An,?是一完备事件组,则对任一事件B,P(B)?0,有

P(Ai|B)?P(AiB)?P(B)P(Ai)P(B|Ai),?P(Aj)P(B|Aj)ji?1,2,?, 贝叶斯公式

注: 公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i?1,2,?)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知道B

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发生),人们对诸事件发生的概率P(Ai|B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. 特别地,若取n?2,并记A1?A, 则A2?A,于是公式成为 P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)?. P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)例题选讲：

条件概率

例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)

(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.

例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率. 乘法公式

例3一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率.

分析：这一概率, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.

例4设袋中装有r只红球, t只白球.每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一, 二次取到红球且第三, 四次取到白球的概率.

例5设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.

例6)已知P(A)?0.3, P(B)?0.4，P(A|B)?0.5, 试求 P(B|A?B),P(A?B|A?B). 例7一袋中装有10个球, 其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率. 全概率公式

例8人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率.

例9 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求: (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.

例10 在例7中，我们将“第二次取到的球为黑球”这一事件分解为两种情况下发生，那里利用全概率公式算得“第二次取到的球为黑球”的概率. 现在的问题是,假设我们已经观察到“第二次取到的球为黑球”，但我们不知道是在第一次取到的球为黑球的情况下第二次取的是黑球的可能性大，还是在第一次取到的球为白球的情况下第二次取到的是黑球的可能性大，现求“第一次取到的是黑球”这种“情况”发生的概率.

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