4wy(3rw1)4故该公司的长期成本函数为C?3。
8. 一项生产技术为q?{min(2l,2k)}1/2，资本和劳动的价格均为1。某厂商若购买此项专利技术。则在专利的有效期内可垄断该产品市场，有效期过后，任何厂商都可以生产该产品。市场对该产品的需求函数为p?1000?1.5q。 （1）该产品的要素需求函数和成本函数。
（2）该厂商最多愿意出多少钱购买此项技术？
（3）若政府对该产品征收50%的从价税，该厂商愿意出多少钱购买此项技术？（北京大学2006试）
解：（1）由题中所给出的生产函数形式，可得厂商在最优生产时，满足
q?2l?1222k
l?k?q即为要素需求函数。
12q＋1×
2所以成本函数为C＝1×
12q＝q
22（2）厂商出钱买此技术必须至少不出现亏损，设专利技术费用为T 厂商购买此技术后其利润为
??pq?C?T?(1000?1.5q)q?q?T??2.5q?1000q?T，且?≥0
22d?dq??5q?1000?0得q?200，此时C＝q＝40000，?＝100000－T≥0
*2所以T≤100000，又因为T≥0，所以Tmax?100000 所以厂商最多愿意支付100000用于购买此技术。
（3）如果政府征收50％的从价税，此时价格为1.5p，市场需求变为
q?11.5(1000?1.5p)，仍设其购买专利技术费用为T，此时，厂商的利润函数为 10001.52?q)q?q?T且??≥0
???(d??dq?10001.5?4q?0得q≈167。
*此时??≈55555－T≥0，故T≤55555，又因为T≥0，所以Tmax?55555 所以在政府征收50％的从价税的情况下，厂商愿意多支付55555。 9．设某厂商的生产函数为Q?K?L，且已知w＝2，r＝1，则：
（1）试求：Q＝100，400时，LAC为多少？
21
（2）设K＝16，求Q＝100，400的SAC为多少？
解：（1）假定固定产量水平为Q0，在Q0下的最低总成本： minC?wL?rK?2L?Ks.t.K?L?Q0可解得K?2Q0,L?22 Q0故LTC?2L?K?22Q0LAC＝
LTCQ?22
所以Q＝100，400下的LAC都是22
2（2）K＝16时，由Q=KL，得Q=16L，所以L=
Q216
STC＝2L＋16＝2?STCQQ8Q216??16?Q82?16
SAC??16Q
Q＝100时，SAC＝12.66 Q＝400时，SAC＝50.04
10．考虑以下生产函数Q?K1/4L1/4m1/4在短期中，令PL?2，PK?1，Pm?4，
?推导出短期可变成本函数和平均可变成本函数，短期总成本及平均总成本函数以及K?8，
短期边际成本函数。
解：可以参照求长期成本的方法来解该题
minTC?2L?4m?8
Q?81/4L1/4m1/4
1/4设拉格朗日函数为X?2L?4m?8??(Q?8分别对L、m及?求偏导得
?X?L?X?m?2?L1/4m1/4)
?4?81/4L?3/4m1/4?0???8L3/4?3/4m1/4 （1）
?4??4?81/4L1/4m?3/4?0???2?8L1/43/4?3/4m （2）
22
?X???Q?81/4L1/4m1/4?0 （3）
由（1）、（2）两式可得：
8L3/4?3/4m1/4?2?8L1/43/4?3/4m
1mL L?2m
?2
再将其代入（3）式，可得：
Q?81/4L1/4m1/4?81/4(2m)1/4m1/4 ?2m1/2 所以m?Q2/4
Q22 L?2m?
则短期总成本TC?Q2?Q2?8?2Q2?8 短期可变成本VC?2Q2
VCQ2QQ2短期平均可变成本AVC???2Q
短期平均成本AC?TCQ?2Q?8Q
短期边际成本MC?dTCdQ?4Q
11．某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费为c元/年，在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进此商品才能使所花费的手续费及库存费之和为最小？
解：在均匀销售情况下，设总费用为y，共分x批购进此种商品，则手续费为bx，每批购买的件数为
ax，库存费为
ac2xac2x，则
总费用y?bx?dydx?dydxddx(bx?
ac2x2ac2x)?b?
令?0
23
即b?ac2x2?0
求得x?2ac2b（负值舍去）
又
dydx2?ddx(b?ac2x2)?acx3?0
故所求值为极小值。 所以应分
ac2b批进货才能使花费的手续费及库存费之和为最小。
12．假设利润为总收益减总成本后的差额，总收益为产量和产品价格的乘积，某产品总成本（单位：万元）的变化率即边际成本是产量（单位：万台）的函数C?4?益的变化率即边际收益也是产量的函数R'?9?Q，试求：
（1）产量由1万台增加到5万台时总成本与总收入各增加多少？ （2）产量为多少时利润极大？
（3）已知固定成本FC=1（万元），产量为18万台时总收益为零，则总成本和总利润函数如何？最大利润为多少？
解：（1）由边际成本函数C?4?总成本函数C?4Q?18Q2''Q4，总收
Q4积分得
?a（a为常数）
当产量由1万台增加到5万台时， 总成本增量?C?(4?5?'258?a)?(4?18?a)?19（万元）
由边际收益函数R?9?Q积分得 总收益函数R?9Q?12Q2?b（b为常数）
当产量从1万台增加到5万台时， 总收益增量?R?(45?252?b)?(9?12?b)
?24（万元）
（2）因为??R?C
所以 ??R?C?9?Q?4? ??令??0 求得Q=4（万台）
''''Q4
54Q?5
24