又
dydQ2Q?102?0.08QQ?10?0.8?0
可知，当Q＝10时，AVC取得最小值为6。 2．某企业的总成本函数是TC=70Q－3Q2+0.05Q3
（1）确定平均成本函数和平均成本最低时的产量。 （2）确定边际成本函数和边际成本最低时的产量。（南京大学2005试） 解：（1）由企业的总成本函数：TC?70Q?3Q2?0.05Q3 可求得平均成本函数：AC?TCQ2?70?3Q?0.05Q
对产量一阶求导，得：
dACdQ??3?0.1Q
又
dACdQ22?0.1?0
所以，当，?3?0.1Q?0即Q?30时，平均成本最低。 （2）由企业的总成本函数：TC?70Q?3Q2?0.05Q3 可求得边际成本函数：MC?70?6Q?0.15Q2 对产量一阶求导，得：
dMCdQ??6?0.3Q
又
dMCdQ22?0.3?0
所以，当?6?0.3Q?0，即Q?20时，边际成本最低。
3．假定某厂商需求如下：Q?5000?50P。其中，Q为产量，P为价格。厂商的平
6000Q均成本函数为：AC??20。
（1）使厂商利润最大化的价格与产量是多少？最大化的利润是多少？
（2）如果政府对每单位产品征收10元税收，新的价格与产量是多少？新的利润是多少？（北大1995试）
解：（1）由Q?5000?50P得P?100?0.02Q
TR?P?Q?(100?0.02Q)Q?100Q?0.02Q
2 17
由AC?6000Q?20得TC?6000?20Q
利润??TR?TC?100Q?0.02Q2?6000?20Q??0.02Q2?80Q?6000
'???0.04Q?80?0，此时Q?2000，P?100?0.02?2000?60
???0.02?20002?80?2000?6000?74000
（2）如果单位产品征10元税收，则TC?6000?20Q?10Q 利润??TR?TC?100Q?0.02Q2?6000?30Q ???0.04Q?70?0
Q?1750，此时P?100?0.02?1750?65
'???0.02?17502?70?1750?6000?55250
0.54．某企业长期生产函数为Q?2xy0.5z0.25，其中Q为产量，x?0为常数，x，y，
z为三种要素，且三种要素的价格分别为Px?1，Py?9，Pz?8，试导出其长期总成本
函数。（重庆大学1999试）
解：Px?1，Py?9，Pz?8
LTC?x?9y?8z
求厂商总的成本函数实际上是求 minLTC?x?9y?8z
s.t. Q?2x设拉格朗日函数为：
L?x?9y?8z??(Q?2x0.50.5y0.5z0.25
y0.5z0.25)
分别对x、y、z和?求偏导，得：
18
?L?x?L?y?L?z?L???1??x?9??x?8??0.5yy0.5zzzz0.25?0???x0.5y?0.5z?0.250.5?0.50.25?0???9x?0.5y0.5z?0.25
?2x0.5yy0.5?0.75?0???16x?0?0.5y?0.5z0.75?Q?2x0.50.50.25得出x?9y,z?Q?2x0.59y16
0.5y0.5z0.25?2(9y)y0.5(9219y16)0.25?y?(452Q33Q4)54
LTC?x?9y?8z?9y?9y?y?1452y?(33)55．设某厂商的生产函数为Q?L2K2，且L的价格W?1，K的价格r?3。 （1）试求长期总成本函数（LTC）、长期平均成本函数（LAC）和长期边际成本函数（LMC）： （2）设在短期内K=10，求短期总成本函数（STC），短期平均成本函数（SAC）和短期边际成本函数（SMC）。（北大1999试）
解：（1）根据题意可联立方程组：
min C=L+3K
11 Q=L2K2
11F（L，K，?）＝L+3K+?（Q?L2K2）
?F?L?F?K?F???1?1212?KLLK?0 ①
?3???0 ②
?Q?LK?0 ③
KL?13，K?13L ④
联立方程①②可解得
在将④代入③中有： 13L?Q，解得L?23Q，K?33Q
所以LTC=L+3K=3Q?3?33Q?23Q
19
LAC?23
LMC?23
（2）在短期内，由K＝10，Q?所以，STC?110Q210L，得出
110Q2?L
?30
SAC?11015Q?30Q
SMC?Q
6．假定某种产品的生产函数为Q=F(L,K)?LK2，单位资本的价格为20元，单位劳动的价格为5元。求：产量一定时成本最小化的资本与劳动的组合比例。（人大2003试）
解：由题意可知：
实际上是求在 min Z=20K+5L （1） 约束为 LK2=Q（Q为常数） （2）
下的K/L
由（2）式可得：L=Q/K2，再将其代入（1）式得Z=20K+5Q/K2 当
dZdK?20?5Q(?2)/K33?0时，Z取得最小值
解得K?Q/2
K/L=K/（Q/K2）=K3/Q=1/2
因此，在产量一定时成本最小化的资本与劳动的组合比例为1/2。
7．中天国际的生产函数为：
y?l4k4
31其中y、l和k分别代表产量、劳动和资本。劳动和资本的价格分别为w和r。请计算该公司的长期成本函数。（武大2003试）
解：根据题意可联立方程组：
C?wl?rk
31y?l4k4
3MPlw?MPkr1?141?4lk41?43l4kr?34w
4wy(3rw)4解得C?3
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