圆的极坐标方程
[读教材·填要点]
圆的极坐标方程
()圆心在极轴上的点()处，且圆过极点，则圆的极坐标方程为ρ＝ θ，－≤θ≤. ()圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝θ，≤θ≤π. [小问题·大思维]
相等的圆在同一极坐标中，极坐标方程是否相同？
提示：不一定．相等的圆只要在极坐标系中圆心的位置不同，极坐标方程就不一样．
[例] 求圆心在，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． [思路点拨]结合题意作出图形，设出动点(ρ，θ)，根据条件建立ρ，θ的关系式化简可求．
[精解详析]如图，设(ρ，θ)为圆上除，外的任意一点，连接，，则有＝，＝ρ，∠＝θ－，∠＝，
从而△为直角三角形， 所以有＝∠， 即ρ＝＝－ θ，
故所求圆的极坐标方程为ρ＝－ θ， ∴＋＝－，
即＋(＋)＝为所求圆的直角坐标方程．
求圆的极坐标方程 ()圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法相同．
()用代入法求极坐标方程，设出要求轨迹的点的极坐标和与之相关的点的坐标，用相关点的坐标表示要求点的坐标，然后代入相关点坐标所满足的关系式即可求得要求点的轨迹方程．
．在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为，点在圆周上运动． ()求圆的极坐标方程； ()若是的中点，求的轨迹．
解：()如图，设(ρ，θ)为圆上任意一点，连接，，则＝，∠＝－θ， 或∠＝θ－，∠＝. 在△中，＝， 即ρ＝.
()若的极坐标为(ρ，θ)，则点的极坐标为(ρ，θ)． ∴ρ＝.所以ρ＝. ∴的轨迹是圆．
[例] 在极坐标系下，已知圆：ρ＝ θ＋ θ和直线：ρ＝. ()求圆和直线的直角坐标方程；
()当θ∈(，π)时，求直线与圆公共点的一个极坐标．
[思路点拨]本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．
[精解详析] ()圆：ρ＝ θ＋ θ， 即ρ＝ρθ＋ρθ，
圆的直角坐标方程为：＋＝＋， 即＋－－＝.
直线：ρ＝，即ρθ－ρθ＝，
直线与圆的极坐标方程的应用 则直线的直角坐标方程为：－＝， 即－＋＝.
()由(\\\\(＋－－＝，－＋＝))得(\\\\(＝，＝，)) 故直线与圆公共点的一个极坐标为.
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
．在极坐标系中，直线ρ＝被圆ρ＝截得的弦长为( ) ．． ．．
解析：选 直线ρ＝可化为＋－＝，圆ρ＝可化为＋＝，由圆中的弦长公式得
＝ ＝.
[对应学生用书]
一、选择题
．在极坐标系中，圆ρ＝－ θ的圆心的极坐标是( )
．() ．(，π)
解析：选 该圆的直角坐标方程为＋＝－，即＋(＋)＝，故圆心的直角坐标为(，－)，化为极坐标为，故选.
．极坐标方程ρ＝所表示的曲线是( ) ．双曲线 ．椭圆 ．抛物线 ．圆
解析：选 ∵ρ＝＝θ＋θ， ρ＝ρθ＋ρθ，
∴＋＝＋，这个方程表示一个圆．
．在极坐标方程中，曲线的方程是ρ＝ θ，过点作曲线的切线，则切线长为
( )
． ．．
解析：选 ρ＝ θ化为普通方程为＋(－)＝，点化为直角坐标为(，)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为＝.
．点，分别是曲线ρθ＝和ρ＝ θ上的动点，则的最小值是( ) ． ． ． ．
解析：选 ρθ＝化为普通方程为＝， ρ＝ θ化为普通方程为＋－＝， 即(－)＋＝，
圆(－)＋＝上的点到直线上点的距离的最小值为圆心()到直线＝的距离减去半径，即为－＝，故选.
二、填空题
．极坐标方程ρ＝ θ＋ θ能表示的曲线的直角坐标方程为． 解析：由ρ＝ θ＋ θ，得ρ＝ρθ＋ρθ， ∴＋－－＝. 答案：＋－－＝
．在极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ＝ θ过极点，一条直线与圆相交于，两点，且∠＝°，则＝.
解析：圆的直角坐标方程为：＋(－)＝， 圆心()到直线：＝的距离为， 则弦长＝. 答案：
．在极坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径＝，则圆的极坐标方程为． 解析：将圆心(，)化成直角坐标为(，)， 半径＝，故圆的方程为(－)＋(－)＝. 再将圆的方程化成极坐标方程， 得(ρθ－)＋(ρθ－)＝.
化简，得ρ－ρ－＝，即为所求的圆的极坐标方程．