A1A2A3A4A5OA6A7
【例3】 平面上有n?n≥2?条直线两两相交，试证明：所得的角中至少有一个角不大于
180?. n【解析】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点
，设为 O，将以O为顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角）
这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条?1，?2，...，?2n.由平行线性质可知，
直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条直线两两相交所成的角.假设这些
180?180?角都大于，于是有 ?1??2?...??2n?2n??360?，这与
nn?1??2?...??2n?360?相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.
【答案】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点
，设为 O，将以O为顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角）
这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条?1，?2，...，?2n.由平行线性质可知，
直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条直线两两相交所成的角.假设这些
180?180?角都大于，于是有 ?1??2?...??2n?2n??360?，这与
nn?1??2?...??2n?360?相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.
【例4】 三条不同的直线相交于同一点O，其中某两条直线相交得到的一对对顶角是
60?．在以O为顶点的六条射线上各取一不同于O的点，按顺时针方向依次记为A，B，C，D，E，F．则?AOB，?BOC，?COD，?DOE，?EOF和?FOA中至少有两个角是( )．
A．60? B．120? C．锐角 D．钝角
【解析】如下图所示，画出两条直线在点O处交成60?对顶角后，第三条过点0的直线要么
过60?角内部，要么过120?的内部(即60?角的外部)．无论下图中(a)，(b)哪种情况，都至少有两个角是锐角．故选C．
【答案】C
FED（a）AO60°CFEBA60°BDC（b）
【例5】 求证：成对顶角的两个角的平分线，在同一直线上．
【解析】略
【答案】如图，AB，CD交于O，则?AOC与?BOD成对顶角．设OE，OF分别为
?AOC，?BOD的平分线。
AECBDF∠?AOE??EOC，?BOF??FOD，且?AOC??BOD，∠?AOE??BOF。 又∠?BOF??FOD??DOA?180?
∠?AOE??FOD??DOA?180?。即?EOF?180? ∠OE，OF在同一直线上。
【例6】 如下图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE.现有一辆装满货物的卡车停放在D点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？
ADBEC
【解析】略
【答案】因为卡车的速度是固定不变的．卡车11分钟内能否将货物运到铁路线旁，关键是
能否在铁路线AE上找到一点，使这点到D点的距离不大于11分钟卡车所行驶的路程．由“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，想到过点D作AE的垂线，然后再比较垂线段的长度与卡车11分钟能行驶的路程的大小，得出结论．
如图所示，汽车由D点到直线铁路段AE的最短距离是由D向AE引的垂线
DH．连结DE．
11S?AED?S正方形?184320??921600
2211AE?DE??1600?DH?800?DH 22∠800?DH?921600 又S?AED?∠DH?1152（米）
卡车行1152米，需要1152?96?12 (分钟)> 11(分钟)． ∠在11分钟内不能将这车货物由D点运到铁路线旁．
ADHBEC
【例7】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.
⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律.
【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
⑵ 当有3条平行线时，有3?4=12对同位角，3?2=6对内错角，3?2=6对同旁内角；
当有4条平行线时，有6?4=24对同位角，6?2?12对内错角，6?2?12对同旁内角；
当有5条平行线时，有10?4?40对同位角，10?2?20对内错角，10?2?20对同旁内角.
⑶ 当n条线彼此平行时，被直线m所截，即l1∥l2∥…∥ln，
则共有(l1，l2)、(l1，l3)、(l1，l4)、…(l1，ln)；(l2，l3)、(l2，l4)、…(l2，ln)、…n(n-1)对平行线，每对2平行线被m所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有n?n?1?n?n?1??4?2n?n?1?对同位角，?2?n?n?1?对内错角，22n?n?1??2?n?n?1?对同旁内角． 2【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
⑵ 当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角； 当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；
当有5条平行线时，有40对同位角，10?2?20对内错角，10?2?20对同旁内角. ⑶ 当n条线彼此平行时，被直线m所截，即l1∥l2∥…∥ln，
(ln-2,ln-1)、(ln-2,ln)、(ln-1,ln)共(n-1)+(n-2)+L+2+1=n(n-1)对平行线，每对平行线被m所截，产生4对同位角，2对内错角，22对同旁内角，则共有2n(n-1)对同位角，n(n-1)对内错角，n(n-1)对同旁内角
则共有
【例8】 下图有 对内错角．
GDAEMBCFN
【解析】24．做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在
于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很
多的时候，要找出相同特点的线段的条数m，只需算出一条线段的关系角的对数n，故该特点的线段的关系角为mn．在本题中，线段DE、DF、EF，每条线段都有2对内错角；线段AD、BE、CF，每条线段都只有2对内错角；线段AB、AC、BC，每条线段都只有1对内错角；线段AF、BD、CE，每条线段都有3对内错角；故总的内错角为：2?3?2?3?1?3?3?3?24．
【答案】24
【例9】 已知，如图，?AEC??A??C,试用两种方法证明AB∥CD
AECDB
【解析】略
【答案】解法一：过点E作?AEF??A,则AB∥EF,
又?AEC??A??C??AEF??CEF, ∠EF∥CD, ∠AB∥CD
AEDBFC
解法二：作?AEF??A?180?, 则AB∥EF,
∠?AEC??AEF??CEF?360?， ∠?A??C??AEF??CEF?360?， ∠?C??CEF?180?， ∠CD∥EF, ∠AB∥CD
AECBFD
【例10】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.
⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律.
【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
⑵ 当有3条平行线时，有3?4=12对同位角，3?2=6对内错角，3?2=6对同旁内角；
当有4条平行线时，有6?4=24对同位角，6?2?12对内错角，6?2?12对同旁内角；
当有5条平行线时，有10?4?40对同位角，10?2?20对内错角，10?2?20对同