第二章 相交线与平行线培优讲义

内容 基本要求 了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且只有一条直线平行与已知直线；知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解两平行线之间距离的意义，会度量两平行线间的距离 略高要求 较高要求 相交线 平行线 会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质，会判断两条直线是否平行 相交直线的概念及性质 如果直线a与直线b只有一个公共点，则称直线a与直线b相交，O为交点，其中一条是另

一条的相交线．

相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

A14C32BD邻补角的概念：

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，?1和?3，?1和?4，?2和?3，?2和?4互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：

（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对

顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，?1和?2，?3和?4是对顶角.

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：

（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直

线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“AB?CD于O”

ACDB

（2）垂线的性质：

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

5.同位角、内错角、同旁内角的概念：

①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同

一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.

②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分

别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角

③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线

的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.

E2AC1346578FDB

看图识角：

（1）“F”型中的同位角.如图.

MAEEMBDNFCMNMBDANCFN

（2）“Z”字型中的内错角，如图.

AMDNMBNC

（3）“U”字型中的同旁内角.如图.

AMCN

平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。

平行线的性质：平行线之间的距离处处相等. 两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

平行线的画法：

平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：

一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），

三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．

平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

平行线的判定

两直线平行的判定方法

方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行

方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行

方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁内角互补，两直线平行 方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行

方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也

互相平行

方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行

平行线的性质：

性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等

简称：两条直线平行，同位角相等

性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等

简称：两条直线平行，内错角相等

性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补

简称：两条直线平行，同旁内角互补

两条平行线间的距离：

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等

【例1】 如图，直线AB、CD交于O，OE平分?AOD，?BOC??BOD?30°，求?COE的度数．

CAEOD图3B

【解析】由?BOC、?BOD互为邻补角可知，?BOC??BOD?180?．

又?BOC??BOD?30?，故?BOD?105?，?BOC?75?． 由对顶角相等可知，?AOD??BOC?75°．

又OE平分?AOD，故?AOE?37.5?，从而可知，?COE?37.5??105??142.5?．

【答案】142.5?

【例2】 过点O任意作7条直线，求证：以O为顶点的角中，必有一个小于26?. 【解析】略

【答案】如图，点O把7条直线分成14条射线，记为OA1，OA2，…，OA14.

相邻两射线组成14个角，记为?1，?2，…，?14. 其和为一个周角：?1??2?L??14?360?. 若结论不成立，则?i≥26?，(i?1,2,L,14).

相加，得360???1??2?L??14≥26??14?364?.

这一矛盾说明，在?1，?2，…，?14中，必有一个角小于26?.