从A点观测C点的仰角为45度；施工组经过实地勘察后，为了安全，决定将观光缆车的钢索改为AD、CD两段，D点是半山腰上距离地面AB30米的一个支点，从A点观测D点的仰角为30°．从D点观测山顶C点的仰角为75°，请你通过自己学过的知识来求出这座山的高度BC约为多少米．（结果保留整数．可能用到的数据：0.96．cos75°≈0.26．tan75°≈3.73）

≈1.73．sin75°≈

【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∴DE＝BF，DF＝BE，

∵∠BAC＝45°，∠B＝90°， ∴AB＝BC， 设AB＝BC＝x，

∵DE＝30，∠DAE＝30°， ∴AE＝30

，

，CF＝x﹣30，

∴DF＝BE＝x﹣30∵∠CDF＝75°， ∴tan75°＝

＝

＝3.73，

解得：x≈224（m），

答：这座山的高度BC约为224米．

21．“守护碧水蓝天，守护我们的家园”，某市为了改善城市环境，预算116万元购进A、B两种型号的清扫机，已知A型号清扫机的单价比B型号清扫机单价的多1.2万元，若购进2台A型号清扫机和3台B型号清扫机花费54.6万元． （1）求A型号清扫机和B型号清扫机的单价分别为多少万元；

21

（2）该市通过考察决定先购进两种型号的清扫机共10台，且B型号的清扫机数量不能少于A型号清扫机的1.5倍，该市怎样购买才能花费最少？最少花费多少万元？ 【分析】（1）设B型号清扫机的单价为x万元，根据题意列方程解答即可；

（2）设购进A型号清扫机a台，总花费为W元，根据题意得出a的取值范围以及W与a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．

【解答】解：（1）设B型号清扫机的单价为x万元，则A型号清扫机的单价为（万元，根据题意得

，

解得x＝11.6，

（万元），

答：A型号清扫机的单价为9.9万元，型号清扫机的单价为11.6万元；

（2）设购进A型号清扫机a台，总花费为W元，根据题意得 10﹣a≥1.5a， 解得a≤4，

）

W＝9.9a+11.6（10﹣a）＝﹣1.7a+116，

∵k＝﹣1.7＜0， ∴W随a的增大而减小，

∴当购进A型号清扫机4台时花费最少，最少花费为：﹣1.4×4+116＝110.4（万元）． 答：当购进A型号清扫机4台，B型号的清扫机6台时花费最少，最少花费为110.4万元． 22．问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC＝4cm． 操作发现：

（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是 菱形 ．

（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三

22

点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论． 实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．

【分析】（1）先判断出∠ACD＝∠BAC，进而判断出∠BAC＝∠AC'D，进而判断出∠CAC'＝∠AC'D，即可的结论；

（2）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由旋转可知，AC＝AC'，得出平行四边形是菱形，由旋转可知对应角相等，得出∠CAC'是直角，即可得出结论； （3）先判断出∠ACB＝30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论． 【解答】解：（1）在如图1中， ∵AC是矩形ABCD的对角线， ∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，

在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD， ∴∠BAC＝∠AC'D， ∵∠CAC'＝∠BAC， ∴∠CAC'＝∠AC'D， ∴AC∥C'E， ∵AC'∥CE，

∴四边形ACEC'是平行四边形， ∵AC＝AC'， ∴?ACEC'是菱形， 故答案为：菱形；

23

（2）

∵F是CC'的中点， ∴FC＝FC'， ∵FG＝AF，

∴四边形ACGC'是平行四边形， 由旋转知，AC＝AC'， ∴?ACGC'是菱形，

由旋转知，∠DAC'＝∠BCA， ∵∠BCA+∠BAC＝90°， ∴∠DAC'+∠BAC＝90°， ∴∠CAC'＝90° ∴菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4， ∴BC'＝AC＝4，BD＝BC＝2∴∠ACB＝30°，

由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°， 在Rt△BCH中，∠ACB＝30°， ∴BH＝BC?sin30°＝∴C'H＝BC'﹣BH＝4﹣

， ，

，sin∠ACB＝

＝，

在Rt△ABH中，AH＝AB＝1， ∴CH＝AC﹣AH＝4﹣1＝3， 在Rt△CHC'中，tan∠C′CH＝

2

＝．

23．如图，已知二次函数y＝ax+bx的图象与x轴交于点O（0，0）和点B，抛物线的对称轴是直线x＝3．点A是抛物线在第一象限上的一个动点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．S△AOB＝3S△ABC，AC＝OC?BC．

2

（1）求该二次函数的解析式；

24