《损伤力学基础》课程作业一：

损伤力学基本概念论述

班姓学

级 名 号

建筑工程系2班

崔玮 0820020163 陈建兵 副教授

授课教师

2009-12-7

目 录

一 阐述Lemaitre应变等效原理及其应用 ................................................................. 1

1.1 Lemaitre应变等效原理的描述 ....................................................................... 1 1.2 Lemaitre应变等效原理的应用 ....................................................................... 2 二 阐述热力学第一定律及热力学第二定律原理及其应用...................................... 2

2.1 热力学第一定律基本原理.............................................................................. 2 2.2 热力学第二定律—Clausius-Duhem不等式 .................................................. 2 2.3 热力学第二定律在损伤力学中的应用.......................................................... 3 三 阐述弹性力学与塑性力学的关系.......................................................................... 4

3.1 全量模型.......................................................................................................... 4 3.2 增量模型.......................................................................................................... 5 四 阐述损伤力学与弹塑性力学的关系，并说明塑性变形与损伤的耦合效应...... 5

4.1 损伤力学与塑性力学的比较.......................................................................... 5 4.2 损伤与塑性变形的耦合.................................................................................. 7

4.2.1 耦合情况说明........................................................................................ 7 4.2.2 不耦合情况说明.................................................................................... 8

一 阐述Lemaitre应变等效原理及其应用

1.1 Lemaitre应变等效原理的描述

Lemaitre应变等效原理可以说是损伤力学的一块基石，在后续章节一些模型的建立及理论推导等都要应用到Lemaitre应变等效原理。其完整描述是：对于任何受损伤材料，其在单轴或多轴应力状态下的变形状态都可以通过原始的无损材料本构定律来描述，只要在本构关系方程中用有效应力来替代通常的Cauchy应力。进一步的研究表明，仅在各向同性损伤条件下，应变等效原理才正确。

在物体中取出一微元体，假设横截面积为A0，截面的一部分由于损伤产生了缺陷，受损面积为A，即实际面积为A0-A，如图1所示。考虑各向同性损伤，假设缺陷在各个方向均匀分布，定义损伤变量为：

D?A 0≤D≤1 （D为一标量） (1) A0损伤产生后，实际Cauchy应力仅作用于未损伤截面上，此时有效应力为：

??? (2)

1?D受损部分A

无损部分A0-A

?图1 有效应力原理

?

注：图中为便于理解，将受损部分集中画在一块区域上，实际情况中损伤应视作均匀散布在整个横截面积上，否则会产生扭矩作用。

由此可见，假设未损伤面积上材料仍服从无损伤材料的应力应变关系，只需把无损材料中的Cauchy应力?换为有效应力?，即可获得有损材料的应力应变关系，这一假设即为Lemaitre应变等效原理。

以单向拉伸的线弹性材料为例，无损材料的本构方程为

??? (3)

E式中：E—无损材料的弹性模量。

按照应变等效原理，有损材料的本构方程为

??? (4)

E

1

式(2)代入式(4)中，可得

??(1?D)E??E*? (5)

式中：E*—受损材料的弹性模量。由于在损伤状态D>0，E*

1.2 Lemaitre应变等效原理的应用

(1) 在建立无损材料自由能势?(?e,qp,d)与有损材料自由能势?0(?e,qp)的关系时，根据Lemaitre应变等效原理可得出：

?(?e,qp,d)?(1?d)?0(?e,qp) (6)

之后才能根据热力学第二定律进一步推导出损伤准则及损伤演化法则。

(2) 在建立损伤力学基本方程时，引入损伤变量D，将Helmholtz自由能势表示为：

???(?ij,D) (7)

并利用热力学第二定律及等温绝热条件可得出损伤材料的应力应变本构关系：

?ij???(?ij,D) (8) ??ij所以说在建立损伤力学本构模型基本方程，确定损伤准则及损伤演化法则时都用到了Lemaitre应变等效原理，主要是通过引入损伤变量将Cauchy应力转化为有效应力的概念。

二 阐述热力学第一定律及热力学第二定律原理及其应用 2.1 热力学第一定律基本原理

热力学第一定律即能量守恒定律，它指出物体能量的增加量恒等于输入的能量。在热力学封闭系统中，具体指系统内能量关于时间的变化率等于外力所做功率与外界输送给系统的热能变化率之和，即：

??E??W?q (9) K?为动能变化率，E?为内能变化率，式中：KW为外力做功功率，q为热能变化率。

利用散度定理和柯西公式，可得热力学第一定律的微分形式：

?ij????hi,i?0 (10) ???ij??e?为内能密度变化率，hi,i为外界流入热量。 式中：e该公式的物理意义为：单位体积的内能增量等于该体积内的应变能增量加上被供给的热量再扣除通过边界流出的热量。 2.2 热力学第二定律—Clausius-Duhem不等式

热力学第二定律主要用于描述不可逆的热力学系统，它给出了能量转化过程的性质和发展方向，是关于有限空间和时间内，一切和热运动有关的物理、化学

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过程具有不可逆性的经验总结。

在热力学第二定律中存在两个基本的状态函数：绝对温度T和熵S，其中绝对温度T是经验温度的函数，恒为正值；熵S是一个与温度变化有关、描述系统变化无序程度的状态变量。系统的熵的变化dS由外熵增量dSe和内熵增量dSi两部分组成，即：

dS?dSe?dSi (11)

外熵增量是总的熵增量中的可逆部分，内熵增量是总的熵增量中的不可逆部分。

若熵和热量都是时间的可微函数时，将熵增量对时间t求导可得变化率形式 的熵不等式：

dS1dQ? (12) dtTdt再结合散度定理可得出关于连续介质的热力学第二定律不等式：

h?ij)?0 (13) ???g?(?e???ij??TsT2.3 热力学第二定律在损伤力学中的应用

材料损伤是一个不可逆的热力学过程，所以在建立损伤材料的本构关系模型及相关准则时必须满足热力学第二定律不等式。当不考虑沿物体表面的热耗散过程，即仅考虑等温的纯粹热力过程时，公式13可简化为：

?????0 (14) ?:?材料Helmholtz自由能势可分解为弹性和塑性两部分：

?(?e,qp,d)??e(?e,d)??p(qp,d) (15)

将上式微分并代入公式14可得

??e?????ppep????pq?)?0 (16) (??e):εd?(?:ε?ε?d?q(1) 作为一种不可逆的能量耗散过程，损伤演化必须满足热动力学原理给出的限制条件，即公式16中的第二项损伤耗散不等式：

?????0 (17) ??d??d?Y?d?d式中：Y为损伤能释放率。

根据损伤能释放率可以进一步给出损伤准则。

(2) 因塑性变形是一种不可逆的能量耗散过程，它必须满足不可逆热动力学原理的限制条件，即公式16中的第三项塑性耗散不等式：

??pp??pq??0 (18) ????:ε?qpp根据Lemaitre应变等效原理将Cauchy应力换为有效应力可得：

3

??pp??pq??0 (19) ?:ε?qp 所以热力学第二定律对于弹塑性本构模型及相关准则的建立都起到了重要作用，损伤作为一个不可逆的热力学过程必须满足热力学第二定律不等式的限制条件。

三 阐述弹性力学与塑性力学的关系

只应用弹性力学的基本内容，而不考虑混凝土应力应变关系中塑性部分的发展是对混凝土本构关系较为粗略的模拟方式，如图2所示。利用广义虎克定律可以将混凝土弹性本构关系表达为：

e (20) ?ij?Cijkl?kle式中：?ij为二阶应力张量，?kl为二阶弹性应变张量，Cijkl为四阶刚度张量。

3.1 全量模型

从图3混凝土应力应变全曲线可以看出，当加载到一定程度之后再卸载，会存在一部分不可恢复的变形，即塑性变形，所以要合理反映混凝土的受力性能，就应利用塑性力学的原理建立弹塑性本构关系模型。

?EsEt?线弹性 硬化段 软化段 加 卸 ?e名义比例极限 ??e?p?

图2 弹性应力应变关系 图3 单轴塑性应变的确立

经典的塑性力学主要包括形变理论与增量理论。形变理论主要是建立全量式应力应变关系：

??Csec:? (21)

式中：Csec是割线刚度张量。

现将混凝土应变分为弹性和塑性两部分：

ep (22) ?kl??kl??kl根据上述弹性应力应变公式，可建立全量式弹塑性本构模型：

e?ij?Cijkl(?kl??kl) (23)

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通过将塑性应变和弹性应变分离的方式，就可以在弹性本构模型的基础上建立弹塑性本构关系模型，相应的屈服条件为：

f(?ij,k)?0 (24)

式中：?ij为应力状态，k为硬化参数。 3.2 增量模型

材料应力应变关系中的塑性变形与加载历史联系紧密，但全量模型并不能考虑加载历史的影响，仅适用于简单加载分析。增量理论利用应力增量与应变增量之间的关系，可以考虑加载历史对后续变形的影响，所以现阶段应用较多：

? (25) ??Cep:??式中：Cep为弹塑性切向刚度张量。

e将应变增量分解为弹性应变增量d?ij和塑性应变增量d?ijp两部分，根据广义

虎克定律有：

pd?ij?Cijkl(d?kl?d?kl) (26)

式中：Cijkl为弹性刚度张量。

这样就可以通过上述公式将弹塑性力学“嵌套”入弹性力学中，当然还应结合屈服条件、强化法则、流动法则与加、卸载准则几个基本假定，建立完整的弹塑性应力应变关系理论，最终弹塑性本构关系可写为：

d?ij?(Cijkl?Dijkl)d?kl (27)

由此可见，无论是全量式或增量式弹塑性本构模型，主要是将总应变分解为弹性应变和塑性应变两部分，然后通过广义虎克定律在弹性应力应变关系的基础上建立弹塑性本构模型，并引入屈服条件、强化法则、流动法则与加、卸载准则最终形成完整的弹塑性本构模型理论体系。

四 阐述损伤力学与弹塑性力学的关系，并说明塑性变形与损伤的耦合效应 4.1 损伤力学与塑性力学的比较

(1) 如上所述，损伤力学主要是利用Lemaitre应变等效原理给出损伤材料的自由能势与无损材料的自由能势的关系（公式6），之后结合热力学第二定律不等式导出本构方程及相关准则。

也可以理解为引入损伤变量d对未损伤材料初始刚度进行修正，建立材料损伤后卸载刚度张量与初始刚度张量之间的关系，以考虑损伤对材料劣化的影响：

C(d)?(1?d)C0 (28)

则可以得到本构方程：

??C(d):?e?(1?d)C0:?e (29)

所以弹塑性损伤本构模型是建立在弹塑性本构模型的基础之上，并通过引入损伤变量对刚度退化进行修正“嵌套”入弹塑性力学。

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(2) 在弹塑性本构模型和损伤本构模型中都运用了正交流动法则。 ① 增量式弹塑性本构模型为：

pd?ij?Cijkl(d?kl?d?kl) (30)

得到此方程后，应进一步确定塑性应变增量与应力状态的关系，一般通过流动法则来规定塑性应变增量各分量的比例。正交流动法则认为塑性应变增量与屈服函数关于应力的导数成正比，即：

d?ijp?d??f (31) ??ij式中：?ijp为塑性应变，d?为标量因子，f为屈服函数。

这其中还应根据屈服函数以及加载制度可以进一步确定标量因子d?。

② 在弹塑性损伤本构模型中：

????(?ij,d) (32) ??ij由于自由能势?(?ij,d)中含有内变量d，所以应进一步确定内变量的演化法则才能构成完整的损伤力学本构模型。通常根据正交流动法则（即最大损伤耗能原理），可以得到关于损伤变量的演化准则为：

????d?G?0 (33) d?Y?d为损伤演化因子，G为损伤函数，Y为材料某一计算时刻的损伤能释式中：?放率。

所以在塑性力学和损伤力学中都是根据流动法则来确定本构方程中的相关准则以构成完整的本构关系理论模型。

(3) 弹塑性本构模型中对于强化材料有初始屈服面和后继屈服面的概念，即经历塑性变形后屈服应力比初始屈服应力有所提高，由后继屈服点就可连成后继屈服面。可以通过强化法则来描述由于塑性应变发展、后继屈服面或加载面按怎样的方式发展，后继屈服面可以表示为：

f(?ij,k1,k2,?kN)?0 (34)

式中：k1，k2，kN为强化参数，是塑性应变历史的函数。

在弹塑性损伤力学本构关系中也要建立损伤准则G(Y,r)?0来确定材料的损伤状态，即

G(Y,r)?g(Y)?g(r)?0 (35)

式中：G为损伤函数，G=0确定的曲面为损伤面；g(x)为变量x的任意递增标量函数；Y为材料在某一计算时刻的损伤能释放率；r为时刻n的损伤能释放率阈值，即历史最大损伤能释放率，可以表示为：

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r?maxr0,maxY? (36)

??[0,n]??材料属性r0称为材料的损伤能释放率阈值，可以通过简单材料试验加以标定。

上式表明只有当损伤能释放率Y超过材料的损伤能释放率阈值r0时，材料损伤才发生导致宏观力学性能的劣化，从线弹性行为发展进入非线性阶段；而且只有当某计算时刻材料的损伤能释放率Yn超过历史最大损伤能释放率rn时，材料处于损伤加载状态，损伤会进一步发展。

?1?2?1?2初始屈服面

初始损伤面(r0)

后继屈服面

破坏面 当前损伤面(rn) 历史最大损伤面(r)

图4 弹塑性本构模型屈服面 图5 损伤本构模型损伤面

注：图5中对损伤本构模型进行分析时，只是借用了弹塑性力学屈服面的概念来说明相关的损伤准则，真正的损伤面并不一定与图中的形状相同。

弹塑性本构模型中运用了初始屈服面和后继屈服面的强化准则；损伤力学中利用损伤能释放率建立损伤准则，根据材料损伤能释放率阈值及历史最大损伤能释放率来判断材料的损伤性能，存在相似之处。

概括起来，塑性力学主要通过对弹性和塑性应变的分解嵌套入弹性力学；而损伤力学主要通过Lemaitre应变等效原理对无损材料的初始刚度进行修正嵌套入塑性力学，并从中考虑了材料劣化对受力性能的影响。 4.2 损伤与塑性变形的耦合 4.2.1 耦合情况说明

由热力学第二定律基本公式并结合材料Helmholtz自由能势可得到塑性耗散不等式：

??pp??pq??0 (37) ????:ε?qpp材料发生损伤后，局部应力重新分布，损伤材料的塑性流动发生在材料的无

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损伤部分。因此，损伤的发展会对损伤材料的塑性流动应力以及塑性特性产生影响。

?d 由热力学第二定律基本公式可知损伤演化这一不可逆过程中的能量耗散?应该满足

???Y?d???0 (38) ?d?Y?d?式中，Y?和Y?分别为受拉损伤能释放率和受剪损伤能释放率，可以分别表示为：

?????e?Y????????0(εe)?0 (39)

?d?d???????Y????????0(εe,qp)?0 (40)

?d?d?由公式40可看出在受剪损伤能释放率中考虑了塑性变形的影响，利用损伤能释放率的概念建立损伤准则，即规定了造成材料发生进一步损伤的限值，从而考虑了塑性变形对材料损伤的影响，所以说塑性与损伤的耦合是双向的。 4.2.2 不耦合情况说明

上述是损伤和塑性变形耦合的情况，但在具体计算式时又将其解耦，即不考虑两者之间的相互影响。

损伤材料的总Helmholtz自由能势可写为：

?(?e,qp,d)?(1?d)?0(?e,qp) (41)

由公式41看出损伤变量d与自由能势?0(?e,qp)只是外乘的关系，未考虑两者之间的耦合。

在建立弹塑性损伤本构模型时需要对Helmholtz自由能势进行微分：

??ee??pp?????pq???(?,q,d)?e?d (42) ???q?dep可以看出此处只是对每一项求偏导后再求和，并没有考虑塑性应变和损伤的耦合效应。

总结起来，在建立本构关系模型时，有效应力概念的引入以及损伤准则的确定考虑了损伤和塑性的双向耦合；但在确定未损伤材料与损伤材料自由能势的关系时，为了计算方便并没有考虑两者之间的耦合。

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