（四）复变函数的极限与连续w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)z?Ez?x?iy一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相应性质的直接推广。

极限设w = f (z)在z0的去心邻域已单值的确定，对

于任意给定的??0,相应地必有一正数?,使得当0?z?z0??时有f(z)?A??,f(z)?A称A为f (z)当z趋向z0时的极限,记作zlim?z设

A?a?ibz0?x0?iy0x?x0y?y0limu(x,y)?alimv(x,y)?b0x?x0y?y021

连续

f(z)?f(z0),那么f(z) 在z处连续。如果limz?z0

0设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在z0 = x0 +iy0 处连续，

x?x0y?y0limu(x,y)?u(x0,y0)x?x0y?y0limv(x,y)?v(x0,y0)类似于实函数，对于复变函数亦可证明下述结论（1）在某点连续的两函数的和、差、积、商（分母不能为0）在该点仍连续。

（2）在某点连续的函数的复合函数在该点仍连续。

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§1.3 导数

（一）导数的定义及公式

设函数w = f (z)是在区域B上定义的单值函数，若在B上的某点z，极限??f?z??z??f?z?lim?lim?z?0?z?z?0?z存在，并且与?z →0的方式无关，则称函数在z点可导，此（有限的）极限叫做f (z) 在z 点的导数，以f'(z)或df/dz表示。显然，函数f (z)必须在点z连续，才有可能在z 点可导.23

讨论：1)复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数.(p9公式)dw1dw2?d(w?w)??12?dzdzdz?ddw1dw2?(w1w2)?w2?w1dzdz?dzw'1w2?w1w'2?dw1?()?2dzww22??dw?1/dz(反函数的导数)?dzdw?ddFdw(复合函数的导数)?F(w)?dwdz?dz?dnn?1z?nz?dz?dzz?e?e?dz?d?sinz?cosz?dz?dcosz??sinz?dz?d1?lnz?z?dz24