(三)求共轭调和函数的方法

若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数。方法如下：例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)解

?u?22?x2?u??22?y2故u为调和函数方法一、曲线积分法

?v?v?u?udv?dx?dy??dx?dy?2ydx?2xdy?x?y?y?x全微分★C.R.条件41

v??v??(x,y)(2ydx?2xdy)?C(2ydx?2xdy)?C(x,y)(积分与路径无关)(x,y)y(x,y)(x,0)(0,0)v?x,y??(x,y)(x,0)(0,0)?2ydx?2xdy??2ydx?2xdy?C(x,0)x?(x,0)?2xdy?C?2xy?C22v(x,y)的积分路径最后结果为：

f(z)?x?y?i(2xy?C)?z?iC42

2方法二、凑全微分显式法

???????2xy??dv?2ydx?2xdy???2xy??dx??dx?d(2xy)????x???y?所以v??dv?2xy?C方法三、不定积分法

同样dv?2ydx?2xdy故?v将x视为v的参数有：?y?2x?v?2y?xv??2xdy??(x)?2xy??(x)?vv对x求偏导有：?2y??'(x)?x43

由

?v?2y?x，知?'(x)?0，即?(x)?C所以

v?2xy?C22例2已知解析函数f(z)的虚部v?(x,y)??x?x?y求实部u(x,y)和这个解析函数。解

改用极坐标x??cos?,y??sin?v(?,?)???cos?????(1?cos?)?2?sin?2?v???1?sin2?21?cos2?2?v????2cos?2?u1?v????????u?v???????sin????2244