证1：因为f(z)=u+iv在区域B上解析，则其实部和

虚部满足C.R.条件

?u?v?u?v????y?x?x?y?u?v?v?u两式相乘??0?x?x?y?y?u??u??v??v?j)?(i?j)?0即(i??x?y?x?y因为即

?u??u??u?i?j?x?y?v??v??v?i?j?x?y?u??v?0?u与?v正交37

即?u??v?0?u与?v正交因为▽u和▽v分别是u(x,y)=常数和v(x,y)=常数的法向矢量因此，u(x,y)=常数与v(x,y)=常数曲线正交！性质2、若f(z)在区域B解析，u(x,y)和v(x,y)为共

轭调和函数调和函数——满足二维拉普拉斯方程的函数共轭调和函数——满足二维拉普拉斯方程，而且满足C.R.条件的一对函数。38

拉普拉斯（Laplace）方程

?u?u?u?2?2?02?x?y?z222?u?02?v?v?v?2?2?02?x?y?z222?v?02证2：因为f(z)=u+iv在区域B上解析，则其实部和虚部满足C.R.条件

?u?v?u?v????y?x?x?y下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域

上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数

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?u?u???v????v??v?v????????0??22???x??y??y??x??y?x?x?y?x?y2222同理可得

?v?v?2?02?x?y22由于u和v是由C-R条件联系着的同一个复变函数

的实部与虚部，故调和函数u与v称为共轭调和函数.

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