【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可； （2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．

【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a， ∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3）， ∴AB=5， ∵AB=BD， ∴BD=5，

∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B， ∴3﹣16a=BD=5， ∴a=﹣， ∴y=x2+x+3，

（2）∵B（4，0），A（0，3）， ∴直线AB解析式为y=﹣x+3， ∵DP∥AB，

设直线DP解析式为y=﹣x+b， ∵D（4，5）在直线DP上， ∴b=8，

∴直线DP解析式为y=﹣x+8，

由，

∴x1=10，x2=4（舍）， ∴P（10，）； （3）如图

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①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G1， ∵BG=AB，

∴∠BAG1=∠BG1A， ∴∠AGB=∠ABD，

∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4， ∴G1（4，﹣5），

∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10；

②以A为圆心，AG1为半径作圆，交BD延长线于G2， 过点A作AH⊥BD于H， ∴HG2=HG1=BH+BG1=8， ∴BG2=11， ∴G2（4，11），

S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22； 即：S△ABG=10或22，

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．

25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2结DC（如图） （1）求BC的长；

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，点D为弧AC上一点，联

（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长； （3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．

（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得【解答】解；（1）如图1中，连接AC，

，由此即可解决．

，

∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠ABC=2∴可以假设AC=2

，

k，BC=k，

∵AB=6，AB2=AC2+BC2， ∴36=8k2+k2， ∴k2=4， ∵k＞0， ∴k=2，BC=2． （2）如图2中，

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∵△MBC与△MOC相似， ∴∠MBC=∠MCO，

∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°， ∴∠OBC=∠OCD， ∵OB=OC=OD，

∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC， 在△OBC和△OCD中，

，

∴△OBC≌△OCD， ∴BC=CD=2．

（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．

∵BC∥OD，

∴∠DOG=∠OGB=∠GOB， ∴BO=BG=3， ∵tan∠HBG=∵BG2=GH2+HB2， ∴8a2+a2=9， ∴a2=1，

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，设GH=2a，HB=a，

∵a＞0，

∴a=1，HB=1，GH=2∵GC∥DO， ∴∴ON=×

=，

=

．

，OH=2，OG=

=2

，

【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．

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