分析： （1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．

解答： 解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE， ∵CD=3， ∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=

∴△ADB的面积为S△ADB=AB?DE=×10×3=15．

点评： 本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 23．（2012?重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．

=

=10，

考点： 直角三角形斜边上的中线． 专题： 证明题．

分析： 由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半

来证CE=ED．

解答： 证明：在Rt△ABC中，

∵E为斜边AB的中点，

∴CE=AB．

在Rt△ABD中，

∵E为斜边AB的中点， ∴DE=AB．

∴CE=DE．

点评： 本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 24．（2010?攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF． （1）求证：EF∥BC；

（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．

考点： 等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题．

21

分析： （1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中

点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；

（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．

解答： （1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；

∴AF=FD，即F是AD的中点； 又∵E是AB的中点，

∴EF是△ABD的中位线； ∴EF∥BC；

（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；

∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4， ∴S△ABD=4S△AEF=6， ∴S△AEF=1.5．

∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．

点评： 此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质． 25．（2009?大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E． 求证：AD=BE．

考点： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 专题： 证明题．

分析： 此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性

质证明题目的结论．

解答： 证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC． ∵CE⊥BD， ∴∠BEC=90°． ∵∠A=90°， ∴∠A=∠BEC． ∵BD=BC，

∴△ABD≌△BCE． ∴AD=BE．

点评： 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性

质与判定解决题目问题．

26．（2007?宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF． （1）求证：AE=CF；

（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．

22

考点： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 计算题；证明题．

分析： 根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之

间的关系可求得∠EFC的度数．

解答： （1）证明：在△ABE和△CBF中，

∵，

∴△ABE≌△CBF（SAS）． ∴AE=CF．

（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，

∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°． ∵△ABE≌△CBF， ∴∠EAB=∠FCB=15°． ∵BE=BF，∠EBF=90°， ∴∠BFE=∠FEB=45°．

∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的

一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

27．（2006?韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF． （1）求证：EF⊥AD；

（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

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考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 专题： 几何综合题；压轴题．

分析： （1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直

平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．

（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．

解答： （1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，

∴∠EAD=∠DAF． ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴∠DEA=∠DFA=90°

又AD=AD，

∴△DEA≌△DFA． ∴EA=FA

∵ED=FD，

∴AD是EF的垂直平分线． 即AD⊥EF．

（2）解：∵DE∥AC， ∴∠DEA=∠FAE=90°． 又∠DFA=90°，

∴四边形EAFD是矩形． 由（1）得EA=FA，

∴四边形EAFD是正方形． ∵DE=1， ∴AD=．

点评： 本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角

形得出线段相等是解题的关键．

24