解答： 解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，

∴∠AOP=∠COP=30°， ∵CP∥OA，

∴∠AOP=∠CPO， ∴∠COP=∠CPO， ∴OC=CP=2，

∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB， ∴∠CPE=30°，

∴CE=CP=1， ∴PE=

=

，

∴OP=2PE=2，

∵PD⊥OA，点M是OP的中点， ∴DM=OP=

．

故选：C．

点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难

度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

8．（2013?滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（ ）

28° 25° 22.5° 20° A． B． C． D．

考点： 线段垂直平分线的性质． 专题： 计算题． 分析： 设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，

然后根据三角形的内角和定理列方程求解．

解答： 解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．

∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E， ∴AE=CE．

∴∠C=∠CAE=x．

根据三角形的内角和定理，得 ∠C+∠BAC=180°﹣∠B， 即x+4x=140°， x=28°．

则∠C=28°． 故选A．

点评： 此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理． 9．（2013?澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（ ） A． 88°或2° B． 4°或86° C． 88°或4° D． 4°或46°

考点： 等腰三角形的性质．

分析： 分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．

13

解答： 解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，

88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°， 综上所述，它的顶角是88°或4°． 故选C．

点评： 本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论． 10．（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）

A． 3 B． 3.5 C． 2.5 D． 2.8

考点： 线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质． 专题： 计算题．

分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然

后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： 解：∵EO是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x2=22+（4﹣x）2， 解得x=2.5，

即CE的长为2.5． 故选：C．

点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为

同一个直角三角形的边是解题的关键．

11．（2011?成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（ ）

A． 1

B． 2

C．

D．

考点： 角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到

∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．

解答： 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，

∴∠ABC=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°，

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∴∠DBC=∠ACB， ∴BD=CD=4，

在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°， ∴AD=BD=×4=2， 过点D作DE⊥BC于点E， 则DE=AD=2． 故选B．

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以

及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

12．（2006?威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（ ）

20° 25° 30° 40° A． B． C． D．

考点： 等腰三角形的性质． 专题： 几何图形问题．

分析： 根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程． 解答： 解：∵AC=AE，BC=BD

∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°， ∴∠A=180°﹣2x°， ∠B=180°﹣2y°，

∵∠ACB+∠A+∠B=180°，

∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，

∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．

点评： 根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．

二．填空题（共6小题） 13．（2014?长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 15 ．

考点： 角平分线的性质． 专题： 几何图形问题．

分析： 要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据

角平分线的性质求得DE的长，即可求解．

解答： 解：作DE⊥AB于E．

15

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=CD=3．

∴△ABD的面积为×3×10=15． 故答案是：15．

点评： 此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上

的高时解答本题的关键．

14．（2013?泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 2 ．

考点： 含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．

分析： 根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是

斜边的一半”即可求得线段BE的长度．

解答： 解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，

∴∠ACB=∠FDB=90°， ∵∠F=30°，

∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）． 又∵AB的垂直平分线DE交AC于E， ∴∠EBA=∠A=30°，

∴直角△DBE中，BE=2DE=2． 故答案是：2．

点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°． 15．（2013?沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= 55° ．

考点： 角平分线的性质．

分析： 首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分

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