湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题及详细解析 下载本文

所以△NMF为等边三角形,∠NFE=60°,所以三角形边长为|NM|=又OD是△FEN的中位线,

=2|FE|=4,

MD就是该等边三角形的高,

故答案为:2

【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合,属于中档题.

16.【分析】推导出AB⊥CD,GE∥CD,GF∥AB,从而GE⊥GF,得EF=5.当四面体绕AB旋转时,由GF∥AB,即EF绕GF旋转,由此能求出EF与直线l所成角的范围. 【解答】解:∵在四面体ABCD中,CA=CB,DA=DB,AB=6,CD=8,

AB?平面α,l⊥平面α,E,F分别为线段AD,BC的中点,

∴AB⊥CD,又GE∥CD,GF∥AB,∴GE⊥GF,得EF=5. 当四面体绕AB旋转时,由GF∥AB,即EF绕GF旋转, 故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE,90°], ∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是故答案为:[0,].

【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,是中档题.

三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必做题:60分.

17.【分析】(1)设出等差数列的公差为d,且不为0,运用等比数列的中项性质和等差数列

的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式; (2)求得

算可得P2n,解不等式可得所求最小值.

【解答】解:(1)公差d不为零的等差数列{an},由a3是a1与a9的等比中项,可得

,即a1(a1+8d)=(a1+2d),

化为a1=d,

又S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,

所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列, 故综上

(2)由(1)可知所以=所以

故n的最小值为505.

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查等比数列的中项性质,同时考查利用裂项相消法求数列的和,考查运算能力,属于中档题.

18.【分析】(1)先证明四边形GFDE为平行四边形,可得GE∥DF,而GE⊥AC,则DF⊥AC,即得证;

(2)建立空间直角坐标系,求出平面ABD及平面ADE的法向量,利用向量公式求解即可. 【解答】解:(1)证明:取AC中点为G,连接GE和GF,因为GF∥BC,且又因为DE∥BC,且故GF∥DE,且GF=DE,

即四边形GFDE为平行四边形,故GE∥DF, ∵CE=AE,∴GE⊥AC, 又GE∥DF,则DF⊥AC;

(2)∵平面BCED⊥平面ABC,平面BCED∩平面ABC=BC,DB⊥AC, ∴DB⊥平面ABC,

2

,再由数列的裂项相消求和,计

又AC在平面ABC内,∴DB⊥AC,

又DF⊥AC,BD∩DF=D,BD,DF在平面ABC ∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AB, ∵AB=AC=2, ∴

取BC中点O连接OE和OA,四边形BCED为直角梯形,则OE∥DB, ∵DB⊥平面ABC,

∴OE⊥平面ABC,故OE⊥BC,OE⊥OA, ∵AB=AC,OA⊥BC,

∴以OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴建立直角坐标系, ∵则

易知平面ABD的一个法向量为

,∴OE=1,

设平面ADE的一个法向量为,则,故可取

设二面角B﹣AD﹣E的为θ,则,

∴二面角B﹣AD﹣E的正弦值为.

【点评】本题考查空间中线线,线面,面面间的基本位置关系,考查利用空间向量求解二面角的正弦值,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.

19.【分析】(1)由已知求得c,可得a=b+1,再由已知求得点Q的坐标,代入椭圆方程得关于a,b的方程,联立求得a,b的值,则椭圆方程可求;

(2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x+1),与椭圆方程联立,利用根与系数的关系,结合OABM为平行四边形,即

,可得M的坐标,

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分别代入椭圆与抛物线方程,得到关于k的方程,求解k无解,当直线斜率不存在时,易知存在点M(﹣2,0)在椭圆C上,可得不存在直线l,使点M落在抛物线D上,存在直线l,使点M(﹣2,0)落在椭圆C上.

【解答】解:(1)由题意知F(﹣1,0),因而c=1,即a=b+1,

又两曲线在第二象限内的交点Q(xQ,yQ)到F的距离是它到直线x=﹣4的距离的一半,即4+xQ=2(﹣xQ+1), 得

,则

,代入到椭圆方程,得

2

2

由,解得a=4,b=3,

22

∴所求椭圆的方程为.

(2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x+1),

由,得(3+4k)x+8kx+4k﹣12=0,

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设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则

由于OABM为平行四边形,得,

故,