2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则M∩N＝（ ） A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|﹣1＜x≤1}
2
2．已知复数z满足z（?1+2i）＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A．第一象限
0.3
B．第二象限
0.3
0.4
C．第三象限 D．第四象限
3．已知a＝0.4，b＝0.3，c＝0.3，则（ ） A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
4．图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（ ）
A．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元 B．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高 C．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长
D．从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致
5．下列说法正确的是（ ）
A．若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题
B．命题“?x＞0，e﹣x﹣1＞0”的否定是“?x0≤0，C．命题“若x≥1，则
2
x”
”的逆否命题为真命题
D．“x＝﹣1”是“x﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件
6．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC﹣ccosB＝2c?cosC，则角
C的取值范围为（ ）
A．
B．
C．，则C．
D．
7．已知平面向量，，均为单位向量，若A．
B．3
的最大值是（ ） D．
8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2﹣|x+2|．若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，2） C．（﹣2，0） 10．已知双曲线C：
B．（0，2）∪（﹣∞，﹣6） D．（﹣2，0）∪（6，+∞）
（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若A．2 11．已知函数
B．3
，
（O为坐标原点），则C的离心率为（ ） C．4
D．5
在区间[0，π]上有且仅有2个零
点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间增；④ω的取值范围是A．①③ 12．设函数A．C．
∪（1，+∞）
B．①③④
，其中所有正确结论的编号是（ ）
C．②③
D．①④
上单调递
恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（ ）
B．
∪[1，+∞）
D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）二项式（
﹣）的展开式中x的系数是 ．
5
﹣2
14．（5分）在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有 种．（用数字填写答案） 15．（5分）已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为
2
的直线交抛物线
于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝ ． 16．（5分）在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB?平面α，l⊥平面α，
E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余
弦值的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．
17．（12分）已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列
，数列{bn}的前2n项和为P2n，若
，求正整数n的最小值．
18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED为直角梯形，∠DBC＝90°，BC＝2DE，
AB＝AC＝2，
（1）证明：DF⊥AC；
，且平面BCED⊥平面ABC，F为棱AB中点．
（2）求二面角B﹣AD﹣E的正弦值．
19．（12分）已知椭圆
与抛物线D：y＝﹣4x有共同的焦点F，
2
且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“
”）时，发现
Y满足，n∈N，5n≤X＜5（n+1）．
*
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有
的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有
的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．