专题四 概率与统计

第1讲 概率、随机变量及其分布列

[全国卷3年考情分析] 年份 古典概型·T6 2019 独立重复试验的概率·T15 随机变量的分布列、等比数列·T21 几何概型·T10 2018 二项分布、导数的应用及变量的数学期望、决策性问题·T20 数学文化、有关面积的几何概型·T2 2017 正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T19 二项分布的方差·T13 古典概型·T8 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 互斥事件、独立事件、离散型随机变量·T18 相互独立事件及二项分布·T8 频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18 全国卷Ⅲ (1)概率、随机变量及其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题或填空题和一道解答题．

(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．

考点一 古典概型与几何概型

1．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )

5

A. 1621C. 32

2．(2019·济南市模拟考试)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，

11

B. 3211D. 16

小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( )

1

A. 62C. 3

3.(2019·福州市质量检测)如图，线段MN是半径为2的圆O的一条弦，且MN的长为2.在圆O内，将线段MN绕点N按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将新线段NM绕新点M按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动，……点M的轨迹所

围成的区域是图中阴影部分．若在圆O内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )

A.4π－63 33C.π－

2

4．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

1A. 32C. 3

考点二 互斥事件、相互独立事件的概率

1．(2019·广州市调研测试)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )

1A. 35C. 9

1B. 22D. 91B. 23D. 433B.1－

2π33D. 2π1

B. 35D. 6

2．(2019·石家庄市模拟(一))袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )

1A. 61C. 2

1B. 31D. 5

3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

4．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

(1)求P(X＝2)；

(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

考点三 随机变量的分布列、均值与方差

题型一 超几何分布及其均值与方差

[例1] (2019·福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.

(1)求P(ξ＝3)．

(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．