【详解】

解：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC，DG＝

1BC， 21BC， 2同理得：EF是△OBC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵BE：CF：DG＝2：3：13， ∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝13x， ∴OE＝2x，OF＝3x，

∵四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝13x， ∴OE2+OF2＝EF2， ∴∠EOF＝90°， ∵点M为EF的中点， ∴OM＝MF， ∴∠MOF＝∠EFO． 【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 22．见解析 . 【解析】 【分析】

作线段DE的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线BP，BP交MN于点O，以O为圆心OE为半径作⊙O即可． 【详解】

如图，⊙O即为所求．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23．（1）Q点坐标为（1，6）；（2）b＝5或7. 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法可求反比例函数的解析式，由点Q（1，m）在反比例函数y?求出点Q的坐标；

k

的图象上，代入可x

（2）由题意OA＝OB，可得直线y＝ax+b的比例系数为1或﹣1，再分两种情况：①当a＝1时，②当a＝﹣1时，进行讨论可求b的值． 【详解】 如图：

kk中得3?，解得：k＝6，

2x

6

∴反比例函数的解析式为y?，

x6

将点Q（1，m）代入y?，

x

6∴m??6，

1（1）将P（2，3）代入y?∴Q点坐标为（1，6）； （2）由题意OA＝OB，

∴直线y＝ax+b的比例系数为1或﹣1， ①当a＝1时，y＝x+b，

将Q（1，6）代入得，6＝1+b，∴b＝5， ∴解析式为y＝x+5； ②当a＝﹣1时，y＝﹣x+b，

将Q（1，6）代入得，6＝﹣1+b，∴b＝7， ∴解析式为y＝﹣x+7． 【点睛】

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，此题要能够根据点在图象上求得待定系数的值，以及分类思想的运用．

24．（1）60°+α；（2）CG=2BD，证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE=PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论． 【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵∠BAD=α，

∴∠FAG=60°-α， ∵∠AFG=∠EFD=60°，

∴∠AGE=180°-60°-（60°-α）=60°+α； （2）CG=2BD，理由是：

如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC=∠EGP，

∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴∠ABE=∠ABD=60°， ∵∠C=60°， ∴∠EBD+∠C=180°， ∴EB∥GP，

∴四边形EBPG是平行四边形， ∴BE=PG，

∵∠DFG+∠C=120°+60°=180°， ∴∠FGC+∠FDC=180°， ∴∠ADB=∠BGP=∠BPC， ∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°， ∴△ABD≌△BCP（AAS）， ∴BD=PC=BE=PG， ∴CG=2BD． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）x＝8．． 【解析】 【分析】

（1）因为AB＝AC，欲证明BD＝DC，只要证明AD⊥BC即可． （2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明． （3）分别用x表示S1、S2，列出方程即可解决问题． 【详解】

（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD． （2）∵AB∥CE， ∴∠2＝∠1， ∵AB＝AC，

∴∠1＝∠3， ∵BE是⊙O切线， ∴∠ABE＝90°， ∵AB∥CE，

∴∠BEC+∠ABE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵BD＝DC， ∴DE＝DB＝DC， ∴∠2＝∠4，

∴∠3＝∠2，∠1＝∠4， ∴△CAB∽△CDE． （3）∵S1＝

1132?3x?x?x． 224∵△CAB∽△CDE，

S1x24?()?∴S23, 3x2∴S2＝

332x， 1632332x?x?283, 416由题意：∴x＝±8， ∵x＞0， ∴x＝8．

【点睛】

本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题目，难度不大，是中考常考题型．