∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF，

∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．

点评： 本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识．

22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．

（1）求∠A的度数； （2）求EF的长．

考点： 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．

分析： （1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；

（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．

解答： 解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度数是30°；

（2）∵由（1）知，∠A=30°．

∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm， ∴BC=AB=4cm．

又E、F分别为边AC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC=2cm．

点评： 本题考查了三角形中位线定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

23．（7分）如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证：

（1）△ABF≌△DCE；

（2）△AOD是等腰三角形．

考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定． 专题： 证明题．

分析： （1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，然后求出∠DAF=∠EDA，然后根据等腰三角形的定义证明即可．

解答： 证明：（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=DC， ∵BE=CF，BF=BC﹣FC，CE=BC﹣BE， ∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中，

，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；

（2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠BAF=∠EDC，

∵∠DAF=90°﹣∠BAF，∠EDA=90°﹣∠EDC， ∴∠DAF=∠EDA，

∴△AOD是等腰三角形．

点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记性质确定出三角形全等的条件是解题的关键．

24．（7分）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB=6，求菱形的面积．

考点： 菱形的性质；矩形的判定．

分析： （1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且

相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；

（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠AEC=90°，

∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AF=AD，EC=BC，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC， ∴AF∥EC且AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵∠1=90°，

∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE=所以，S菱形ABCD=8×3

=24

．

=3

，

点评： 本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口． 25．（7分）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点． （1）证明：四边形EGFH是平行四边形；

（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．

考点： 正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定． 专题： 证明题．

分析： 通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．

解答： 证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点， ∴GF∥EC且GF=EC． 又∵H是EC的中点，EH=EC， ∴GF∥EH且GF=EH．

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）连接GH，EF．

∵G，H分别是BE，EC的中点， ∴GH∥BC且GH=BC． 又∵EF⊥BC且EF=BC，

又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线， ∴GH∥BC， ∴EF⊥GH， 又∵EF=GH．

∴平行四边形EGFH是正方形．

点评： 主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．

26．（7分）如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．