?(F,G)?(y,v)?(F,G)?(u,y)?FyGyFuGuFvGvFyGy??1u3uy2x3v2??3v?xu
2???1u?3u?y
3从而
?u?x?u?y??1?(F,G)J?(x,v)1?(F,G)J?(y,v)?3v?xxy?9uv3223，
?v?x??1?(F,G)J?(u,x)??3u?vyxy?9uv3u?yxy?9uv222222
????3v?xuxy?9uv22，
?u?y??1?(F,G)J?(u,y)?
事实上，对具体题目可以不用该公式计算，而直接用隐函数方程两边同时求偏导解方程组的方法来做。
3.9边际、弹性和增长率
3.6.1 边际（Marginality）
在经济学研究中许多重要的概念是用导数来描述的，数学上的导数概念对应经济学上的边际概念，利用导数进行经济分析，简称边际分析。经常用到的边际量有边际收入、边际成本、边际产量、边际利润等。
在经济学上对于函数y?f(x)在x0点的边际定义为：f(x0?1)?f(x0)，记为
Mf(x0) 边际的数值可以用f'(x0)近似的代替，虽然一阶导数的概念和边际的概念不
同，但是为了边际计算的简单性，经济学家在计算边际数值时仍然采用一阶导数的数值代替。
2例 设某商品的总成本函数为C(Q)?2Q?6Q?12，求Q0?20时的边际成本
解按照边际的概念求Q0?20时的边际成本为：C(21)?C(20)?88
Q0?20时的一阶导数值为：C'(20)?86
可见用导数计算出的数值和边际定义计算出的数值不同，但比较接近边际数值。 对于多元函数y?f(x1,x2,?,xn)关于xi的边际的定义为：
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Mf(x1,x2,?,xn)?f(x1,x2,?,xi?1,?xn)?f(x1,x2,?,xn)，
边际表示在其他变量均不发生改变的情况下，第i个变量增加一个单位因起函数值的变化。对于多元函边际数值的计算可以用偏导近似代替。如当消费者消费n种商品时，其效用函数为U?U(x1,x2,?,xn)，如果其中第i种商品的消费量发生改变，其边际效用为：
MUi(x1,x2,?,xn)??U(x1,x2,?,xn)?xi
例3.1 给定生产函数Q?96K0.3L0.7，求边际产出MPPK和MPPL。
解：对生产函数两边取对数可得：lnQ?ln96?0.3lnK?0.7lnL 由此可以得到：
MPPK?MPPLdQdKdQKK0.3???0.7??67.2() dLLdlnLLL?QdlnQKdlnKQdlnQ?0.3?QKQ?28.8(L)0.7
定理 两个函数乘积的弹性等于两个函数弹性的和； 两个函数商的弹性等于两个函数弹性的差；
两个符合函数的弹性等于两个函数弹性的乘积，即
设y?f(u),u?g(x)，则?yx??yu?ux。
3.6.2弹性(Elasticity)
函数y?f(x)关于x0的弹性定义为
?yx?分比。
dlnydlnxx0?xdyydxx0，表示当x由x0增加一个百分比时，y的增加或减少的百
当?yx?1时，称y关于x弹性不足或缺乏弹性，此时y变动的百分率小于x变动的百分率。
当?yx?1时，称y关于x弹性充足或富有弹性，此时y变动的百分率大于x变动的百分率。
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当?yx?1时，称y关于x为单位弹性，此时y变动的百分率等于x变动的百分率。 n元函数y?f(x1,x2,?,xn)对xi的弹性定义为：Eyxi??yxi?xiy，由于采用偏导数
来定义故对于多元函数称为偏弹性。
由弹性的定义可以看到，弹性表示自变量x的变化的百分率引起因变量y变化的百分率的比值，是无量纲的。
例3.2 某种商品的需求函数为Q?Q(P)，Q为该商品的需求量，P为商品价格，则收益R?PQ。讨论其需求价格弹性。
dRdPdQdPPdQQdP求其边际收益可以得到：?Q?P?Q(1?)
因为它的需求价格弹性为?Qp?dRdP?Q(1??)。
dRdPdRdPPdQQdP，且通常情况下，
dQdP?0，因此，代入可
得：
当??1时，当??1时，
?0，此时收益是价格的减函数，如果降低商品价格，能够提高收益。 ?0，此时收益是价格的减函数，如果提高商品价格，能够提高收益。
进一步，根据需求函数Q?Q(P)，取其反函数可以求得价格函数为P?P(Q)，则
R?QP(Q)，其边际收益为：
MR?dRdQ?P?QdPdQ?P(1?QdPPdQ)?P(1?1?)
在经济学中，厂商生产的均衡条件为：MR?MC，从而MC?P(1?1?)，将其变
MC1?1?形可得：P?
这个公式可以作为厂商定价的依据。根据这个公式我们可以发现，在边际成本一定的情况下，需求价格弹性越大价格就越低，需求价格弹性越小价格就越高，因此，垄断企业在具有不同价格弹性的市场，产品的定价不同。
例3.3 设某个消费者关于n种商品的需求函数为xi?fi(P1,P2,?,Pn,Y)
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(i?1,2,?,n)，其中P1,P2,?,Pn分别为n种商品的价格，Y为该消费者的收入。求：
(1)第i种商品的需求价格弹性；(2) 第i种商品需求关于第j种商品的价格的交叉价格弹性；(3) 第i种商品的需求收入弹性。
解：(1) 第i种商品的需求价格弹性可表示为?x,p?ii?xiPi?Pixi。
(2) 需求的交叉价格弹性，用来描述一种商品的需求量对另外一种商品价格变化的灵敏度，可表示为?xi,Pj??xi?PjxiPj??xiPj?Pjxi,(i?j)。
?xiPj?Pjxi则第i种商品需求关于第j种商品的价格的交叉价格弹性为?x,P?ij, (i?j)。
(3) 商品的需求收入弹性表示一种商品的需求量对收入变化的敏感程度。 第i种商品的需求收入弹性为：?x??xiY?Yxii,Y
3.6.3 增长率(Growth rate)
设y是t的函数且y?f(t)，则在t0时刻y的增长率定义为：
ry?dlnydtt?t0?yy'
t?t0定理 给定两个可导函数u?f(t)，v?g(t)，用ru?v，ru?v，ruv，ru/v分别表示两个函数和、差、积、商的增长率，则
（1）ruv?ru?rv （2）ru/v?ru?rv （3）ru?v?（4）ru?v?uu?vuu?vru?ru?vu?vvu?vrv rv
例3.4 若货币需求Md是国民收入Y?Y(t)及利息率i?i(t)的函数，求证：Md增长率可以表成rY与ri的加权之和，其中权数分别为Md对Y与i的弹性。
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