(完整word)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数) 下载本文

1.定义:平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。

定曲线C:准线

动直线L:母线

2.特征:x,y,z三个变量中若缺其中之一(例如y)则表示母线平行于y轴的柱面。 3:几个常用的柱面:

b) 圆柱面:x?y?R(母线平行于z轴) c) 抛物柱面:y?2x(母线平行于z轴) 四、二次曲面 1、定义:

三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,这种方法叫做截痕法。 3、几种特殊的二次曲面 1. 椭球面

方程为

2222x2y2z2???1 a2b2c2

使用截痕法,先求出它与三个坐标面的交线:

222?2??x?y?1?x2?z2?1 ?2,?,2c?a?aby?0??z?02?2y??2?z2?1,这些交线都是椭圆。再看?bc???x?0这曲面与平行于坐标面的平面的交线:椭球面与平面z?z1的交线为椭圆

?x2y2?2?1??a22b,同理与平面x?x1和y?y1的交线也是椭圆。?2(c?z12)(c2?z12)(|z1|?c)2c?c??z?z1椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面

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例:椭圆抛物面方程为

x2y2??z 2p2q(p与q同号)

其形状如右图所示。

旋转抛物面方程为

x2y2??z 2p2p (p >0)

双曲抛物面(鞍形曲面)方程为

x2y2???z (p与q同号) 2p2q当p >0, q >0时,其形状如图所示。 2.双曲面

单叶双曲面方程为

x2y2z2?2?2?1 2abc双叶双曲面方程为

x2y2z2?2?2??1 2abc各种图形注意规律特点,可以写出其它的方程表达式。

小结:曲面方程的概念,旋转曲面的概念及求法,柱面的概念(母线、准线)。 作业:

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第六节 空间曲线及其方程

教学目的:介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分

作准备的,学生应知道各种常用立体的解析表达式,并简单描图,对投影等应在学习时特别注意。 教学重点:1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点:空间曲线在坐标面上的投影 教学内容:

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线,故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。

?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程。

二、空间曲线的参数方程

将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数:

?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)?当给定t?t1时,就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1),随着参数的变化可得到曲线上的全部点。

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

(3)

?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0消去其中一个变量(例如z)得到方程

H(x,y)?0

(4)

曲线的所有点都在方程(4)所表示的曲面(柱面)上。

此柱面(垂直于xoy平面)称为投影柱面,投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线,简称投影,用方程表示为

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?H(x,y)?0 ??z?0同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线。

在重积分和曲面积分中,还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影,这时要利用投影

柱面和投影曲线。

例1:设一个立体由上半球面z?求它在xoy面上的投影。 解:半球面与锥面交线为

4?x2?y2和锥面z?3(x2?y2)所围成,见右图,

??z?4?x2?y2C:?

22??z?3(x?y)消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为:

?x2?y2?1 ??z?0即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy平面上的投影为圆所围成的部分:

x2?y2?1

小结:1.空间曲线的一般方程、参数方程:

?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0

?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)?2.空间曲线在坐标面上的投影

?H(x,y)?0 ?z?0??R(y,z)?0 ?x?0?作业:

?T(x,z)?0 ?y?0?

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