sin??Am?Bn?CpA?B?C?m?n?p222222
直线与平面垂直：s//n 相当于
ABC?? mnp（充分必要条件）
直线与平面平行：s?n 相当于Am?Bn?Cp?0 平面束方程：
过平面直线?（充分必要条件）
?x?y?z?1?0的平面束方程为
?x?y?z?1?0(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0
四、杂例：
例1：求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。 解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两
平面的法线向量垂直，所以
is?1j0k?4??(4i?3j?k)
2?1?5因此，所求直线的方程为
x?3y?2z?5 ??431
例2：求过点（2，1，3）且与直线
x?1y?1z??垂直相交的直线方程 32?1 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为
3(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0
再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为 x= -1+3t
y=1+2t
z=-t
并代入上面的平面方程中去，求得t＝
21333，从而求得交点为(,,?)
7777以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量
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21336s?{2?,1?,3?}?{2,?1,4}
7777故所求直线方程为
x?2y?1z?3 ??2?14?x?y?z?1?0例3：求直线? 在平面x?y?z?0上的投影直线的方程
x?y?z?1?0? 解：应用平面束的方法
设过直线??x?y?z?1?0的平面束方程为
x?y?z?1?0?(x?y?z?1)??(x?y?z?1)?0
即
(1??)x?(1??)y?(?1??)z???1?0
这平面与已知平面x?y?z?0垂直的条件是
(1??)?1?(1??)?1?(?1??)?1?0
解之得
???1
代入平面束方程中得投影平面方程为 y－z－1＝0 所以投影直线为
?y?z?1?0 ??x?y?z?0
小结：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。 作业：
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第五节 曲面及其方程
教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。
学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。
教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程 教学难点：旋转曲面 教学内容：
一、曲面方程的概念
1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。 2. 曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)?0
有下述关系：
（1）
（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1） （2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）
那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形。 3．几种常见曲面 （1）球面
例1：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程。 解：设M0(x0,y0,z0)是球面上的任一点，那么
M0M?R
即： 或：
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2
2222特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）x?y?z?R （2）线段的垂直平分面（平面方程）
例2：设有点A(1,2,3)和B(2,?1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程。
解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设M(x,y,z)是所求平面上
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的任一点，由于|MA|?|MB|，那么
?x?1?2??y?2?2??z?3?2化简得所求方程
??x?2?2??y?1?2??z?4?2
2x?6y?2z?7?0
研究空间曲面有两个基本问题：
（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
（2） 已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。 二、旋转曲面的方程
设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为
f（y，z）＝0
把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点，那么有 f（y1，z1）＝0
（2）
当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z)，这时z＝z1保持不变，且点M到z轴的距离
d?x2?y2?y1
将z1＝z，y1??x?y代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为
22f(?x2?y2,z)?0
旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角?（0°
z2?a2(x2?y2)
其中a?cot? 三、柱面
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