第二节 数量积 向量积

教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂

直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。

教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用

教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容：

一、数量积：

a) 定义：a?b?abcos?，式中?为向量a与b的夹角。 b) 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为

W?Fscos?

其中?为F与s的夹角。

2c) 性质：Ⅰ.a?a?a

Ⅱ.两个非零向量a与b垂直a?b的充分必要条件为：a?b?0 Ⅲ. a?b?b?a

Ⅳ. (a?b)?c?a?c?b?c Ⅴ. (?a)?c??(a?c) d) 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式：设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}则

?为数

a?b?axbx?ayby?azbz

Ⅱ.投影表示式：a?b?aPrjab?bPrjba Ⅲ.两向量夹角可以由cos??a?b式求解 abe) 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求?AMB

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提示：先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。 二、向量积：

a) 概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义：

??

c 的模c?absin?，式中?为向量a与b的夹角。

c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。 ※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 b) 公式：c?a?b f)

性质：Ⅰ.a?a?0

Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：a?b?0 Ⅲ. a?b??b?a

Ⅳ. (a?b)?c?a?c?b?c Ⅴ. (?a)?c?a?(?c)??(a?c) c) 几个等价公式：

Ⅰ.坐标表示式：设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}则

?为数

a?b?(aybz?azby)i?(azbx?axbz)j?(axby?aybx)k

iⅡ.行列式表示式：a?b?axbxjaybykaz bzd) 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角

形ABC的面积。

解：根据向量积的定义，S?ABC?11ABACsin?C?AB?AC 22由于AB＝{2,2,2}，AC＝{1,2,4}

i因此AB?AC?2jk22?4i?6j?2k

124于是S?ABC?

112AB?AC?4?(?6)2?22?14 22 10

小结： 向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、

共面的条件） 作业：

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第三节 平面及其方程

教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重

要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。

教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：

一、平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n?{A,B,C}，对平面上的任一点

M(x,y,z)，有向量M0M?n，即

n?M0M?0

代入坐标式有：

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

此即平面的点法式方程。

（1）

例1：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方程。

解：先找出这平面的法向量n，

i

jk?1n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k

?23

由点法式方程得平面方程为

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