M1M2?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

OM?{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量运算的坐标表示 则

(1) 加法： a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ◆ 减法： ◆ 乘数： ◆ 或

设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}即a?axi?ayj?azk，b?bxi?byj?bzk

a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k

?a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k

a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz} a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}

?a?{?ax,?ay,?az}

◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b??a，即

{bx,by,bz}??{ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

bxbybz ??axayaz五、向量的模、方向角、投影

设a?{ax,ay,az}，可以用它与三个

坐标轴的夹角?、?、?（均大于等于0，小于等于?）来表示它的方向，称?、?、?cos?、cos?称为方向余弦。 为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos?、

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1． 模

222 a?ax?ay?az

2． 方向余弦

?a?MMcos??acos?12?x?222由性质1知?ay?M1M2cos??acos?，当a?ax?ay?az?0时，有

?a?M1M2cos??acos???z?aax?cos??x?22a?ax?ay?az2?ayay? ??cos??222aax?ay?az??aaz?cos??z?222a?a?a?axyz?◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos??cos??cos??1 ◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：

222a0?aa?1a{ax,ay,az}?{cos?,cos?,cos?}

例：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与

M1M2同向的单位向量。

解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

M1M2?(?1)2?12?(?2)2?2

211 cos???，cos??，cos???222??2??3?，??，?? 33400设a为与M1M2同向的单位向量，由于a?{cos?,cos?,cos?}

即得

112a0?{?,,?}

2223． 向量在轴上的投影

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(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数?满足

??AB，且当AB与轴u同向时?是正的，当AB与轴u反向时?是负的，那么数?叫

做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即??AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则

AB??e

(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC?AB?BC (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OA?a，

OB?b，规定不超过?的?AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)

(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点A在轴u上的投影。

(5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做

''''?PrjuAB。

2．投影定理

性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：

PrjuAB?ABcos?

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Prju(?a)??Prja

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。

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作业：

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