第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算
教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：
一、向量的概念
1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2． 量的表示方法有: a、i、F、OM等等。
3． 向量相等a?b：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4． 量的模：向量的大小，记为a、OM。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5． 量平行a//b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为?a 二、向量的线性运算
1．加减法a?b?c： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
?b?c?a 1
2．a?b?c 即a?(?b)?c
3．向量与数的乘法?a：设?是一个数，向量a与?的乘积?a规定为
(1)??0时，?a与a同向，|?a|??|a| (2)??0时，?a?0
(3)??0时，?a与a反向，|?a|?|?||a|
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设a表示与非零向量a同方向的单位向量，那么
0a0?a a定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，
使b＝?a
例1：在平行四边形ABCD中，设AB?a，AD?b，试用
a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行
四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4
解：a?b?AC?2AM，于是MA??由于MC??MA， 于是MC????
???1(a?b) 21(a?b) 2???1又由于?a?b?BD?2MD，于是MD?(b?a)
2???1由于MB??MD， 于是MB??(b?a)
2三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
?角度2 2
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别
zox面。为xoy面、坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图yoz面、
7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点M1M2的距离图3．空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若
M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间任意两点， 则M1M2的距离（见图7－3），利用
直角三角形勾股定理为：
d2?M1M222?M1N?NM22222
?M1p?pN?NM2而 M1P?x2?x1
PN?y2?y1
NM2?z2?z1
所以
d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
特殊地：若两点分别为M(x,y,z)，o(0,0,0)
d?oM?x2?y2?z2
例1：求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: M1M2
2?(4?7)2?(3?1)2?(1?2)2?14
2 M2M32?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2?6
M3M1?(5?4)2?(2?3)2?(3?1)2?6
3
由于 M2M3?M3M1，原结论成立。
例2：设P在x轴上，它到P1(0,2,3)的距离为到点P2(0,1,?1)的距离的两倍，求点P的坐标。
解：因为P在x轴上，设P点坐标为(x,0,0)
2 PP1?x??2?2?32?x2?11PP2?x2???1??12?x2?2
222?PP1?2PP2 ?x?11?2x?2
?x??1
所求点为：(1,0,0)，(?1,0,0) 四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分
别表示 图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：
M1M2?(x2?x1)i + (y2?y1)j+(z2?z1)k
或
a = ax i + ayj + azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就
叫做向量a的坐标，并记为
a ＝ {ax，ay，az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为
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