?1?a11?a2Dn?2???1?a1?a1a2?????1?a1a2?an

n?1???1????1??aj.

i?1j?1nii3.2 构造法

3.2.1 概念及计算方法

有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析

1x1x12例12 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值． 构造n?1阶的范德蒙德行列式，得

1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn.

?n?2x2n?1x2nx2?n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得

13

f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，

其中，xn?1的系数为

An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为

1?j?i?n??xi?xj?.

??x1?x2?xn?故有

1?j?i?n??xi?xj?.

Dn??x1?x2???xn?1?j?i?n??xi?xj?.

3.3 特征值法

3.3.1 概念及计算方法

设?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式

A??1?2??n.

故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式．

3.3.2 例题解析

例13 若?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为A??1?2??n，则

A可逆?A?0??1?2??n?0??i?0?i?1,2?n?.

14

即

A可逆当且仅当它的特征值全不为零．

4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法

4.1 三角形行列式

4.1.1 概念

a11a12a22a13?a1na11a22a32?an2a33??an3?ann形如

a23?a2na21a33?a3n，a31???annan1这样的行列式，

形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an2a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???000?a11a22?ann. ??ann0?a33???an3?ann4.2 “爪”字型行列式

4.2.1 概念

15

a0c1形如c2?cncn?c2c1a0a1b1b1a1b2a2?bnbn?b2a2?b1a1a0c1c2，?cn，

?ananan?ancna2a1?c2这样的行列式，形状像个c1a0?a2b2?bn，

bn?b2b1“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法

利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析

a11例14 计算行列式1?11a2a3?an1?1，其中ai?0,i?1,2,?n.

分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第

i(i?2,3,?n.)列元素乘以?角形行列式．

1后都加到第一列上，原行列式可化为三ai 16