cos?Dk?1???1?k?1?k?112cos?1?012cos?1?00?000?2cos?10?01?2cos???00

???2cos??0cos????1?k?1?k10?01?02cos??0 ?0???1?2cos?Dk?Dk?1.

因为

Dk?cosk?，

Dk?1?cos?k?1???cos?k?????cosk?cos??sink?sin?， 所以

Dk?1?2cos?Dk?Dk?1

?2cos?cosk??cosk?cos??sink?sin? ?cosk?cos??sink?sin?

?cos?k?1??.

这就证明了当n?k?1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：Dn?cosn?.

2.6 递推法

技巧分析：若n阶行列式D满足关系式

9

aDn?bDn?1?cDn?2?0.

则作特征方程

ax2?bx?c?0.

n?1① 若??0，则特征方程有两个不等根，则Dn?Ax1n?1?Bx2．

② 若??0，则特征方程有重根x1?x2，则Dn??A?nB?x1n?1． 在①②中， A，B均为待定系数，可令n?1,n?2求出．

9500?0004950?0000495?000????????0000?4950000?049例10 计算行列式Dn?.

解：按第一列展开，得

Dn?9Dn?1?20Dn?2.

即

Dn?9Dn?1?20Dn?2?0．

作特征方程

x2?9x?20?0.

解得

x1?4,x2?5.

则

Dn?A?4n?1?B?5n?1.

当n?1时，9?A?B；

10

当n?2时，61?4A?5B. 解得

A??16,B?25，

所以

Dn?5n?1?4n?1.

3、行列式的几种特殊计算技巧和方法

3.1 拆行（列）法

3.1.1 概念及计算方法

拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析

1?a1?1例11 计算行列式Dn?a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an.

0?001?a3???00??1?an?1解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得

11

1?a1a20?0?1?01?a2a3?0D0?0?11?a3?0n??????0?000?1?an?10?000??11a20?00?11?a2a3?00?0?11?a3?00??????000?1?an?1an000??11?an?a1a20?00

01?a2a3?00?0?11?a3?00??????.000?1?an?1an000??11?an上面第一个行列式的值为1，所以

1?a2a3?00?1a3?00Dn?1?a1?????

00?1?an?1an00??11?an?1?a1Dn?1.

这个式子在对于任何n?n?2?都成立，因此有

Dn?1?a1Dn?1

12

000?

an?an1