种． 【答案】20

【解析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出． 【详解】

当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支

11

付宝或现金，故有1+C2C2＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中11

一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C2C2＝5，此时共有5+5=10种，

当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信

11

或现金，故有1+C2C2＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人11

选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C2C2＝5，此时共有5+5=10种，

综上故有10+10＝20种， 故答案为20. 【点睛】

本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 16．已知双曲线

的右顶点为，以为圆心，半焦距为半

径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若________. 【答案】

，则的离心率为

【解析】设出双曲线C的渐近线方程到直线的离心率。 【详解】

设双曲线C的渐近线方程为

，点

，利用点到直线的距离公式得出点A

，根据

，化简得到

的距离，结合圆的弦长公式得到

到渐近线的距离为

则

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化简为

即

故的离心率为【点睛】

解得

在双曲线方程未知求离心率的问题：列出含有消去，然后转化成为关于的方程来求解。

三、解答题 17．在上的点. （I）求角； （Ⅱ）若

，

，

，求

的长，

的齐次方程，借助于

中，角，，所对的边分别为，，，且，是边

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【解析】（I）利用正弦定理将边化角为，再结

合三角形内角和定理、两角和的正弦公式即可得到B。 （Ⅱ）利用余弦定理先求出长。 【详解】 （I）由

，得

，

进而得到

，由正弦定理即可得到

的

，

，∵，∴，∴.

（Ⅱ）在中，，，，

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由余弦定理得，所以，

在中，， ，由正弦定理，得，

所以【点睛】

.

本题关键是要掌握正弦定理的变形公式，，，，将边

化为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量。

18．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面

平面

，

是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.

（I）求证：（Ⅱ）若面角的余弦值.

； ，四边形

为平行四边形，求平面

与平面

所成锐二

【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（I）过作面

，得出

，

，

。

交于点，连接，先证明平面，再由平

（Ⅱ）以为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法

向量、，再由【详解】 证明：（I）过作

得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。

交于点，连接，

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由平面又

，

平面，得，∴

平面，∴，∴

.

，

由直线与平面所成角为，易得，

由由平面

，，∴

，得

，.

，

，又

平面

，得

，得

. 平面

，

（Ⅱ）由（I），系四边形面

，，，

两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标

，∴，，∴

，，

，

，平面

，，

，

， ，

平面. ，

，∴

平

，由题意

为平行四边形，∴，平面，

，

，

平面

设平面的法向量为，由，得，取，

得，

设平面的法向量为，，，取，

，

，∴所求锐二面角的余弦值为.

【点睛】

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