课时作业40 数学归纳法

n4＋n22

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n＝2，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( D )

A．k2＋1 B．(k＋1)2 ?k＋1?4＋4?k＋1?2C. 2

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2

解析：观察可知，等式的左端是n2个连续自然数的和，当n＝k时为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.

2．如果命题P(n)(n∈N*)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论中正确的是( D )

A．P(n)对任意n∈N*成立 B．P(n)对n＞4成立 C．P(n)对n＜4成立 D．P(n)对n≤4不成立

解析：由题意可知P(n)对n＝3不成立(否则n＝4也成立)，同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立，故选D.

1111273．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋2＋4＋…＋n－1＞64(n∈

2N*)成立，其初始值至少应取( B )

A．7 B．8 C．9 D．10

11－2n1111

解析：左边求和可得1＋2＋4＋…＋n－1＝1＝2－2n－1， 2

1－2127111右边＝64＝2－64，故2－n－1＞2－64，

211

即n－1＜64＝26，所以2n－1＞26，解得n＞7. 2

1

所以初始值至少应取8.

4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( A )

A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3

解析：假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )

A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立 B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立

C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A错误；若f(1)≥1成立，则得到f(2)≥4，与f(2)＜4矛盾，所以B错误；当f(3)≥9成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C错误；若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，正确．

111

6．(2019·九江模拟)已知f(n)＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)，经计算得f(4)＞2，n＋257n

f(8)＞2，f(16)＞3，f(32)＞2，则其一般结论为 f(2)＞2(n≥2，n∈N*) .

2＋23＋24＋25＋2345

解析：观察规律可知f(2)＞2，f(2)＞2，f(2)＞2，f(2)＞2，…，

2

n＋2

故得一般结论为f(2)＞2(n≥2，n∈N*)．

n

7．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝ 5 ；当n＞41

时，f(n)＝ 2(n＋1)(n－2) (用n表示)．

解析：由题意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，

所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4， 猜测得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)． 有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)， 1

所以f(n)＝2(n＋1)(n－2)．

111n

8．已知f(m)＝1＋2＋3＋…＋m(m∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)＞2时，f(2k

＋1

111

)－f(2)＝ k＋＋…＋k＋1 .

2＋12k＋22

k

111

解析：当n＝k时，f(2)＝1＋2＋3＋…＋2k，

k

11111

当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋2＋3＋…＋2k＋k＋…＋k＋1，

2＋12所以f(2

k＋1

111??11111

?)－f(2)＝1＋2＋3＋…＋2k＋k＋…＋k＋1－1＋2＋3＋…＋2k???2＋12

k

111

＝k＋k＋…＋k＋1. 2＋12＋22

9．用数学归纳法证明：

1111n

＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?证明：(1)当n＝1时，

11等式左边＝＝8，

2×1×?2×1＋2?11

等式右边＝＝，

4?1＋1?8

等式左边＝等式右边，所以等式成立．

111

(2)假设n＝k(k∈N且k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋

2×44×66×8

*

1k

＝，

2k?2k＋2?4?k＋1?

11111

则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋ 2×44×66×82k?2k＋2?2?k＋1?[2?k＋1?＋2]k1

＝＋ 4?k＋1?4?k＋1??k＋2?

k?k＋2?＋1＝ 4?k＋1??k＋2?

?k＋1?2k＋1＝＝ 4?k＋1??k＋2?4?k＋2?k＋1＝. 4[?k＋1?＋1]

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．

111131

10．已知f(n)＝1＋23＋33＋43＋…＋n3，g(n)＝2－2n2，n∈N*. (1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)；

911

当n＝2时，f(2)＝8，g(2)＝8， 所以f(2)＜g(2)；

251312

当n＝3时，f(3)＝216，g(3)＝216， 所以f(3)＜g(3)．

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立， 111131即1＋23＋33＋43＋…＋k3＜2－2k2. 那么，当n＝k＋1时，

1311

f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 2?k＋1?322k?k＋1?3?31?3111－??因为f(k＋1)－g(k＋1)＜2－2k2＋－＝－2?k＋1?3?22?k＋1??2?k＋1?2?11?k＋3－3k－11?2－3?＝3－2＝32＜0， 2k?k＋1?2k2?k＋1?2?k＋1?k??

所以f(k＋1)＜g(k＋1)．

由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．