14个填空题专项强化练(九) 不 等 式

A组——题型分类练

题型一 一元二次不等式

???1

1．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为?x?x<或x>3

???2

2

??

?，??

则f(e)>0(e是自然对数的底数)的解集是________．

x?1??x1?xx解析：法一：依题意可得f(x)＝a?x－?(x－3)(a<0)，则f(e)＝a?e－?(e－3)(a<0)，

2??2??

1x?x1?xx由f(e)＝a?e－?(e－3)>0可得

2?2?

???1

法二：由题知，f(x)>0的解集为?x?

???2

??

?， ??

1x令

??2－1，x>0，

2．已知函数f(x)＝?2

?－x－4x，x≤0，?

xx

则不等式f(x)>3的解集为________________．

2

2

解析：当x>0时，2－1>3，解得x>2，当x≤0时，－x－4x>3，即x＋4x＋3<0，解得－32或－3

答案：{x|x>2或－3

3．已知函数y＝x－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．

解析：由定义域为R，得x－2x＋a≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y＝x－2x＋a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ＝4－4a＝0，a＝1.

答案：{1}

??－x＋1，x≥0，

4．已知函数f(x)＝?2

?－x＋1，x<0，?

2

2

2

则关于x的不等式f(x)>f(2－x)的解集是

2

________．

解析：由x≥0，得f(x)＝－x＋1， 所以原不等式可转化为f(2－x)<－x＋1， 则当2－x≥0，即x≤2时，

由－(2－x)＋1<－x＋1，得－22时，

2

2

2

2

2

1

由－(2－x)＋1<－x＋1，得x∈?.

综上得，关于x的不等式f(x)>f(2－x)的解集是{x|－21，则x＋

4

的最小值为________． x－1

444＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，x－1x－1x－1

2

22

解析：由x>1，得x－1>0，则x＋即x＝3时等号成立．故x＋

答案：5

4

的最小值为5. x－1

2．已知00，

1193

则x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，

33441

当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．

21答案： 2

19

3．已知正数a，b满足＋＝ab－5，则ab的最小值为________．

ab19

解析：因为正数a，b满足＋＝ab－5，所以ab－5≥2

ab192×，可化为(ab)－

ab5ab－6≥0，

19

解得ab≥6，即ab≥36，当且仅当＝，即a＝2，b＝18时取等号．即ab的最小值为

ab36.

答案：36

1122

4．已知正数x，y满足x＋4y＋x＋2y≤2－4xy，则＋的最小值为________．

xy112

解析：由题意得(x＋2y)＋(x＋2y)－2≤0，且x>0，y>0，所以0

xyx＋2y＝1，??2yx?11??11?＝?＋?·1≥?＋?·(x＋2y)＝3＋＋≥3＋22，当且仅当?2yxxy?xy??xy?＝，??xy

即

2

?x＝2－1，??2y＝1－?2?

11

时，＋取得最小值3＋22.

xy答案：3＋22

11

5．已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值是________．

2a＋bb＋12a＋b＋3b＋13

解析：a＋2b＝－，

22故a＋2b＝?

?2a＋b＋3b＋1?·?1＋1?－3

??2a＋bb＋1?22?2???

2a＋b3b＋11

·＝＋3，

2b＋122a＋b2

132a＋b3b＋131

＝＋＋＋－≥＋2222b＋122a＋b22当且仅当

2

2a＋b3b＋111

＝，且＋＝1时取等号． b＋122a＋b2a＋bb＋1

1

故a＋2b的最小值为＋3.

21

答案：＋3

2

题型三 简单的线性规划

x＋y－5≤0，??

1．已知实数x，y满足?2x－y＋2≥0，

??y≥0，

的最小值为________．

则目标函数z＝x－y解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z＝x－y经过点A(1,4)时，取得最小值－3.

答案：－3

x≥1，??

2．设不等式?x－y≤0，

??x＋y≤4，

表示的平面区域为M，若直线l：y＝kx－2上存在M内的

点，则实数k的取值范围是________．

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示． 因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，

3

3＋2

由图知，当直线l过点B(1,3)时，k取最大值＝5，

1－02＋2

当直线l过点C(2,2)时，k取最小值＝2，

2－0故实数k的取值范围是[2,5]． 答案：[2,5]

x－2y＋1≤0，??

3．已知约束条件?ax－y≥0，

??x≤1

x

表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点

在函数y＝e的图象上，那么实数a的取值范围为________．

解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y＝e的图象，结合函数图象知，当

xx＝1时，y＝e，把点(1，e)代入ax－y≥0，则a≥e.故实数a的取值范围为[e，＋∞)．

答案：[e，＋∞)

B组——高考提速练

1．不等式解析：∵即∴

x＋1

<2的解集为______________． xx＋1x＋1

<2，∴－2<0， xxx＋1－2x1－x＝<0，

xx1－x<0等价于x(x－1)＞0，解得x＜0或x＞1，

x∴不等式

x＋1

<2的解集为{x|x＜0或x＞1}． x答案：{x|x＜0或x＞1} 2x＋y≤4，??x＋3y≤7，

2．若实数x，y满足?x≥0，

??y≥0，

则z＝3x＋2y的最大值为________．

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．

4