201g(1/2)=-3dB，通常把 =1/?处的频率称为系统的“转折频率”(对滤波器，就是截止频率)。在该处，A(1/?)=0.707(-3dB)，?(1/?)=-45o，即该处输出信号的幅度下降至输入信号幅度的0.707，输出信号滞后于输入信号45o，这两点常常成为在伯德图上判断一阶系统的特征。所以，时间常数 是一阶系统的重要特征参数，它决定了系统的动态特性。如图3-6所示，当 越小，转折频率就越大，测试信号的动态范围就越宽；反之， 越大，则系统的动态范围就越小。

从图3-6还可以发现，当?>(2～3)/?，即??＞＞1时，式变为

输出和输入的积分成正比，系统相当于一个积分器。一阶系统适合于测量缓变或低频信号，l/?就是系统工作频率的上限。

下面进一步分析系统对具体输入信号的响应特性。 (1)一阶系统的单位脉冲响应 由式(3-25)得

当系统作用输入信号x(t)=?(t)，其拉氏变换为L[?(t)]=△(s)=1所以

对上式进行拉氏反变换，得其时域响应

图3-8表示一阶系统的单位脉冲响应。由图可见，输入?(t)后，系统的输出从突变值1/?迅速衰减。衰减的快慢与?的大小有关，一般经过4?时间后，其响应衰减为零。?越小，系统的输出越接近于?(t)。

(2)一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入信号的函数表达式为

对式(3-31)取拉氏变换

将其代人式(3-25)得

拉氏反变换得

由图3-9可见，当t>4?后，系统输出与输入基本相同(误差小于1.8％)，可认为稳态误差为零。所以?越小，一阶系统达到稳态值的时间越小，?是决定系统响应快慢的重要因素，所以称?为时间常数。

，此时微分方程

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图3-8一阶系统的单位脉冲响应 图3-9一阶系统的单位阶跃响应

通过实验，同样可以测得系统对其他信号的响应。在很多情况下，系统的输出信号与输入信号存在常值稳态误差。因此，在输出值加上这一稳态误差作修正值，才能得到正确的响应信号。值得注意的是，同样的系统对阶跃信号、脉冲信号等的响应不存在稳态误差。所以，稳态误差的存在与否，不仅取决于系统，也取决于信号。 2．二阶系统的动态特性

图3-10所示的三种装置均为典型的二阶系统。现以动圈式电表为例来讨论二阶测试系统的动态特性。固定的永久磁铁所形成的磁场与通电线圈所形成的磁场相互作用，产生电磁转矩，使线圈产生偏转运动，其运动特性可用二阶微分方程来描述。

式中 x(t)——输入运动线圈的电流信号；

y(t)——运动线圈产生的角位移输出信号；

J ——取决于转动部分结构形状和质量的转动惯量； c ——阻尼系数，包括空气阻尼、电磁阻尼和油阻尼等； G —— 游丝的扭转刚度；

ki ——电磁转矩系数，与动圈绕组的有效面积、匝数以及磁感应强度等有关。 令

和

，则上式可改写为

图3-10典型的二阶系统

a)弹簧质量阻尼系统 b)RLC电路 c)动圈式电表

对具体系统而言，S是一个常数，是系统的静态灵敏度。为分析方便，令S=1，得到归一化的二阶微分方程，代表二阶系统特性的标准式。式中?n称为系统的固有频率，?称为系统的阻尼比(0

根据式(3-15)，得

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令s=j?，代入式(3-34)，得二阶系统的频率响应函数

幅频特性为 A(?)?1[1?()]?4?()

?22?n?2?n

相频特性为

图3-ll和图3-12分别示出系统的幅频与相频特性图和伯德图。

图3-11 二阶系统的幅频和相频特性曲线

由图3-11和图3-12可见，二阶系统的频率特性受?n和?两个参数的共同影响。当系统的阻尼很大(?>1)时，二阶系统的频率特性和一阶系统的频率特性甚为接近，此时系统近似为一阶系统。当?很小(0

然而，在通常使用的频率范围中，固有频率的影响更为重要。系统的频率响应随固有频率?n的大小而不同。所以二阶系统固有频率?n的选择应以其工作频率范围为依据。?≈?n 处是系统的共振点，此时系统响应的幅值最大，相位滞后90o。作为实用装置，要避免系统

?(?)进入该频率点。但该频率点的特性在测定系统本身的参数时却很重要。在?<

很小，且和频率近似成正比增加。在?>>?n段，?(?)趋近于-180o，即输出信号几乎和输入信号反相。在?靠近?n区间，?(?)随频率的变化而剧烈变化，而且?越小，这种变化越剧烈。?n越大，系统保持动态误差在一定范围内的工作频率范围就越宽；反之，工作频率范围越窄。

二阶系统是一个振荡环节。从测试工作的角度出发，总是希望测试装置在较大的频率范围内，受系统频率特性影响所产生的误差尽可能小。所以，确定了测试对象及其频率特性之后，要选择固有频率和阻尼比组合合适的装置，以便获得较小的误差和较宽的工作频率范围。一般选取?≤(0.6～0.8)?n，?=(O.65～0.7)。

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图3-12二阶系统的伯德图

下面进一步分析系统对具体输入信号的响应特性。 1) 二阶系统的单位脉冲响应

将(3-34)式进行拉氏反变换，即得二阶系统的脉冲响应函数

2) 二阶系统的单位阶跃响应

将(3-31)式表示的单位阶跃信号作用于二阶系统，二阶系统对单位阶跃输入的响应量

图3-13描述了二阶系统的单位阶跃响应。分析可知，二阶测试系统的阶跃响应具有以下性质：

2 1)当：?<1时，系统以1???n为角频率正弦振荡衰减。当?≥1时，响应不出现振

荡。无论哪种情况，响应都要经过一段时间才能达到阶跃输入值，该过程称为瞬态过程(动态过渡过程)。?>1，称为过阻尼；?=1，为临界阻尼；0

图3-13二阶系统的单位阶跃响应

2)阻尼比?的取值决定了阶跃响应趋于稳态值的快慢，?值过大或过小，趋于稳态值的时间都过长。为提高响应速度，通常选取?=0.6～0.8较合适。

3)测量系统的阶跃响应速度，随系统固有角频率?n的变化而不同。当不变时，?n越

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