2．采样长度与频率分辨率

当采样间隔Ts一定时，采样长度T越长，数据点数N就越大。为了减少计算量，T不宜过长。但是T若过短，则不能反映信号的全貌，因为在作傅里叶分析时，频率分辨率△f与采样长度T成反比，即：△f=1/(NTs)。显然，需要综合考虑采样频率和采样长度的问题。

一般在工程信号分析中，采样点数N选取2的整数幕，使用较多的有512、1024、2048等。若分析频率取fc=fs/2.56=1/(2.56Ts)，则各档频率分辨率为△f =1/(NTs)= =2.56f /N=(1/200，1/400，1/800)fc。例如，若采样频率f =2560Hz；当N=1024时，△f=2.5Hz；当N=2048时，△f=1.25Hz。

3．量化及量化误差

将采样信号的幅值经过四舍五入的方法离散化的过程称为量化。若采样信号可能出现的最大值为A，令其分为B个间隔，：则每个间隔△x=A/B，△x称为量化电平，每个量化电平对应一个二进制编码。当采样信号落在某一区间内，经过四舍五入而变为离散值时，则产生量化误差，其最大值是±0.5△x。

量化误差的大小取决于A/D转换器的位数，其位数越高，量化电平越小，量化误差也越小。比如，若用8位的A/D转换器，8位二进制数为2 =256，则量化电平为所测信号最大幅值的1/256，最大量化误差为所测信号最大幅值的±1/512。

4．泄漏及窗函数

(1)泄漏现象数字信号处理只能对有限长的信号进行分析运算，因此需要取合理的采样长度T对信号进行截断。截断是在时域将该信号函数与一个窗函数相乘。相应地，在频域中则是两函数的傅里叶变换相卷积。因为窗函数的带宽是无限的，所以卷积后将使原带限频谱扩展开来而占据无限频带，这种由于截断而造成的谱峰下降、频谱扩展的现象称为频谱泄漏。当截断后的信号再被采样，由于有泄漏就会造成频谱混叠，因此泄漏是影响频谱分析精度的重要因素之一。

图2-14 频谱混叠

(2)窗函数及其选用 如上所述，截断是必然的，频谱泄漏是不可避免的。如果增大截断长度T，即加大窗宽，则窗谱w(ω)主瓣将变窄，主瓣以外的频率成分衰减较快，可减小频谱泄漏。但这样做将使数据量加大，且不可能无限增大窗宽，为此，可采用不同的时域窗函数来截断信号。分析表明，由于矩形窗函数的波形变化剧烈，因此其频谱中高频成分衰减慢，造成的频谱泄漏最为严重。若改用汉宁窗(Hanning)、海明窗(Hamming)，由于它们频谱

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中高频成分衰减快，将使泄漏减小。加窗的作用除了减少泄漏以外，在某些场合，还可抑制噪声，提高频率分辨能力。

工程测试中比较常用的窗函数有矩形窗、三角窗，汉宁窗、海明窗和指数窗等五种。它们的时域和频域的数学表达式、形状、性质等可参考有关文献。

关于窗函数选择，应考虑被分析信号的性质和处理要求。在需要获得精确频谱主峰频率，而对幅值精度要求不高时，可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰、噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。

二、离散傅立叶变换(DFT)

傅里叶变换建立了时域函数和频域函数之间的关系，是频谱分析的数学基础。然而前面介绍的是连续信号的傅里叶变换，不适合于离散信号，无法在计算机上使用，必须研究针对离散信号的离散傅里叶变换(DFT)。

对模拟信号采样后得到一个N个点的时间序列x(n)，它与N个点的频率序列X(k)建立的离散傅里叶变换(DFT)对如下

X(k)??x(n)e?j2?kn/N k?0, 1, 2, ?, N-1

n?0N?11N?1x(n)??X(k)ej2?kn/N n?0, 1, 2, ?, N-1

Nn?0上述的离散傅里叶变换对将N个时域采样点x(n)与N个频率采样点X(k)联系起来，建立了时域与频域的关系，提供了通过计算机作傅里叶变换运算的一种数学方法。

2

由式(2-54)可以看出，对N个数据点作DFT变换，需要N次复数相乘和N(N-1)次复数相加。这个运算工作量是很大的，尤其是当N比较大时，如对于N=1024点，需要一百多万次复数乘法运算，所需的运算时间太长难以满足实时分析的需要。为了减少DFT很多重复的运算量，产生了快速傅里叶变换(FFT)算法。若以FFT算法对N个点的离散数据作傅立叶变换，需要

NNN

log2次复数相乘和Nlog2次复数相加，显然，运算量大大减少。 2FFT算法在谐波分析、快速卷积运算、快速相关分析、功率谱分析等方面已大量应用，并广泛应用于各个领域，已成为信号分析最主要的工具之一。目前FFT算法已相当成熟，已有大量的计算机软件可以实现。

习题与思考题

2-1 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具?如何进行描述?周期信号是否可以进行傅里叶变换?为什么?

-at

2-2求指数函数x(t)=Ae(a>0，f≥0)的频谱。

2-3求周期三角波(图2-5a)的傅里叶级数(复指数函数形式)。 2-4求图2-15所示有限长余弦信号x(t)的频谱。

?cos?0t t?T 设 x(t)??

0 t?T?2-5 当模拟信号转换为数字信号时遇到哪些问题?应怎样解决?

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图2-15 题2-4图

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第3章 测试系统的基本特性

测试系统依据被测信号是静态还是动态分别表现为静态特性或动态特性。虽然描述测试系统这两种特性的参数不一样，但它们是相互联系和影响的，也就是说，一个静态特性差的测试系统，很难想象其动态特性会好。测试系统的特性分析，实际上就是研究测试系统本身及其作用于它的输入信号、输出信号三者之间的关系。

3.1 测试装置与线性系统

随着测试的目的和要求不同，我们所设计和选取的测试系统的复杂程度也不同。测试装置本身就是一个系统，所谓“系统”，通常是指一系列相关事物按一定联系组成能够完成人们指定任务的整体。这里所说的测试系统，依据所研究对象不同，含义的伸缩性很大。例如，图1-l所示的测试系统，其本身各环节的组成就相当复杂。而简单的温度测试系统只有一个液柱式温度计。因此，本章中所称的“测试系统”既可能是在上述含义下所构成的一个复杂装置的测试系统，也可能是指该测试系统的各组成环节，例如传感器、放大器、中间变换电路、记录器，甚至一个很简单RC滤波单元等。所以，本书以后所提到的测试系统或测试装置，有时指的是有许多环节组成的复杂的测试装置，有时指的是测试装置中的单个环节。作为一个测试装置，要能够完成一定的功能，所以在后续的介绍中，对“装置”和“系统”一般不加以区分。

一、测试装置的基本要求

研究测试装置的特性，主要是分析和处理系统的输入量x(t)、输出量y(t)以及装置本身的传输特性h(t)三者之间的关系，知道其中的两个量，就可以确定另一个量。

理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入输出关系。即对于每一输入量都应只有单一的输出量与之对应。其中以输出与输入成线性关系为最佳。在输入信号取值基本不随时间而变化的静态测量中，测试系统的这种线性关系虽然总是所希望的，但不是必须的，因为用曲线校正或输出补偿技术作静态非线性校正并不困难；在动态测试中，测试系统本身应该力求是线性系统。这不仅因为目前对线性系统能够作比较完善的数学处理与分析，而且也因为在动态测试中作非线性校正目前还相当困难，即使可以作这样的校正，费用也高。实际测试系统大多不可能在整个范围内完全保持线性，而只能在一定范围内和一定的(误差)条件下作线性处理，这就是该测试系统的工作范围。

二、线性系统及其主要性质

在实际测试工作中，把测试系统在一定条件下，看成一个线性系统，具有重要的现实意义。

测试装置的输入量x(t)和输出量y(t)都是时间的函数。如果它们之间的关系可以用线性常微分方程来描述，即

dny(t)dn?1y(t)dy(t)an?a???a?a0y(t)n?11dtndtn?1dt (3-1) mm?1dx(t)dx(t)dx(t)?bm?b??b?b0x(t)m?11mm?1dtdtdt则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。通常n>m，表明系统是稳定的，即

系统的输入不会使输出发散。系数a0、al、?、a0和b0、bl、?、b0均为常数，不随时间而

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