大，响应速度越快；?n越小，响应速度就越慢。 综上所述，二阶系统的固有频率和阻尼比是二阶测试系统的重要特征参数，简称为二阶系统动态特性参数。

三、测试系统动态特性的测定

要使测试装置精确可靠，首先其定度应当精确，同时，还要定期对装置进行校准。定度和校准的过程就是对测试装置本身特性参数的测定。 要测定装置的静态特性参数，只要给系统施加“标准”的静态量输入，得出其定度曲线，然后通过定度曲线和校准直线，就可确定系统的非线性误差、灵敏度和回程误差等静态参数。 对测试装置动态特性的测定，主要就是对其动态特性参数的测定。通常是用正弦信号或阶跃信号作为标准激励源，分别测出激励作用下的频率响应曲线或阶跃响应曲线，从中确定测试系统的时间常数、阻尼比和固有角频率等动态参数。下面分别就正弦信号、阶跃信号为激振源来进行分析。

1．用频率响应法求测试装置的动态特性

对装置施以正弦激励，即x(t)=X0sin?t，在输出达到稳态后测量输出和输入的幅值比和相位差，就得到该激励频率下装置的传输特性。通常所加正弦激励峰—峰值为量程的20％，频率自接近零频的最低值开始，逐点增加到较高频率，直到输出量减小到初始输出幅值的一半为止，就可得到系统在整个工作频率范围的幅频特性A(?)和相频特性?(?)曲线。 对于一阶装置，时间常数 就是系统的动态常数。可以通过幅频或相频特性表达式(3-28)和式(3-29)，借助实验所得的特性曲线，直接确定?值。

对于二阶装置，可通过幅频曲线估计其动态参数。对于欠阻尼系统(?<1)，幅频特性曲线的峰值在稍偏离?n处(参见图3-11)，设该点为 k，则

确定?有以下两种方法：第一种方法是利用幅值的-3dB频率点。如图3-14所示，在峰值的1/2处，作一水平线交幅频特性曲线a、b两点，它们对应的频率为?1、?2，当?很小时，?n≈?k，阻尼比的估计值便可取

图3-14二阶系统阻尼比的估计

第二种方法是在实验所得曲线上找到A(?k)和实验中最低频率的幅频值A(0)，利用下面算式求得；

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确定参数?之后，将 的值代入式(3-40)确定系统的固有频率?n。

2．用阶跃响应法求测试装置的动态特性

1)一阶装置动态特征参数?的测定

前面已经得出一阶系统的单位阶跃响应函数的表达式(3-32)，将其移项后得

两边取对数，有 令 则

上式表明，z与t成线性关系。可根据测得的单位阶跃响应y(t)作出z-t曲线，从z-t曲线的斜率即可求得时间常数?(?为z-t曲线斜率的倒数)

显然，这种方法考虑了瞬态响应的全过程，所得结果准确度高。

2)由二阶系统的阶跃响应求系统的动态特性参数 典型的欠阻尼(0

。

的角频率做衰减振荡的，记为

按照求极限的通用方法，可以求得各振荡峰值所对应的时间tp=0，2?/?d，?。?/?d、将

代入式(3-39)，即可求得最大超调量M和阻尼比?之间的关系，即

或

根据上式作出超调量与阻尼比?的关系如图3-15所示。

因此，在二阶系统的单位阶跃响应图上得到第一个最大超调量M之后，根据式(3-43)计算出阻尼比 或根据图3-15求得。

图3-15欠阻尼二阶系统的M- 关系曲线

由衰减振荡角频率?d和求得的阻尼比?，可求出系统固有频率，即

若在二阶系统阶跃响应曲线上测得两个相邻的超调量，则利用这两个超调量来求阻尼比将更精确。

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四、测试环节的联接

前面已经讲述了一阶系统和二阶系统的特性，任何高阶系统都可看做是由若干个一阶系统和二阶系统的串联或者并联。下面将分析多个环节串联或并联后组成的复杂系统的传输特性。

图3-16两个环节的串联

1．环节的串联

两个传递函数分别为H1(s)和H2(s)的环节串联(图3-16所示)，假设它们之间没有能量交换，在初始条件全为零的情况下，串联后组成的系统的传递函数H(s)为

依次类推，对多个环节串联组成的系统，有

将s=j?代入上式，得到多个环节串联系统的频率响应函数

其幅频和相频特性分别为

2．环节的并联

两个传递函数分别为H1(s)和H2(s)的环节并联(图3-17所示)，假设它们之间没有能量交换，且初始条件全为零。系统总的输出为

系统的传递函数H(s)为

图3-17两个环节的并联

依次类推，对多个环节并联组成的系统，有

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将s=j 代入上式，得到多个环节并联系统的频率响应函数

n阶系统传递函数通式(3-15)为代数式，可以将分母分解为s的一次和二次实系数因式，从而把式(3-15)改写为

式中 pi、qi、?i、?ni和?i——实常数，n>3。

3．负载效应 前面曾假定，如果相联环节之间没有能量交换，那么在环节相联后各环节仍保持原有的传递函数，从而导出了环节串、并联后所形成的系统的传递函数表达式。而在实际上这种情况很少见。一般情况下，环节相联接，后环节总是成为前环节的负载，环节间总是存在能量交换和相互影响，以至系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加或连乘。某装置由于后接另一装置而产生的种种现象，称为负载效应。在环节相联时应考虑负载效应的影响。

第四节 实现不失真测试的条件

所谓测试系统实现不失真测试，就是被测信号通过测试系统后，其波形形状不发生改变。图3-18中，x(t)为系统的输入信号，经过测试系统后，输出y(t)与输入相比，幅度放大了A0倍(理论上也可以缩小，不过测试系统对信号一般应具有放大作用)，在时间上滞后输入t0的时间(理论上可以超前，不过实际测试系统的输出总是滞后于输入)，表明系统实现了不失真测试。

图3-18测试系统的不失真输出信号波形

用数学表达式描述为

对实际测试系统来说，当t<0时，x(t)=0，y(t)=0，即初始条件为零。所以，依据傅里叶变换的时移性质，可得式(3-52)的频域表达式

频率响应函数为

幅频特性和相频特性为

式(3-53)称为测试系统不失真测试的条件。因此，不失真测试对测试系统的要求如下： 1)装置的幅频特性即灵敏度在量程范围内要求为常值，即A0=常数。任何非线性度、回程误差、漂移的存在，都会引起测试波形的失真。有时需要进行误差补偿。

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2)系统的频率特性要满足式(3-53)，即幅频特性保持常值，相频特性为输入信号频率的线性函数。也就是说信号的不失真测试有一定的频率范围。 3)当对测试系统有实时要求(即t0=0)时，式(3-53)变为

实际测试装置不可能在非常宽的频率范围内都满足不失真条件。对于只具有单一频率成分的信号，因为定常线性系统具有频率保持特性，所以只要其幅值不进入非线性区，输出信号的频率也是单一的，也就不会有失真问题。对于含有多种频率成分的复杂信号，落在不失真频率范围内的频率成分可以不失真通过系统，而其他频率成分就会产生幅值失真或相位失真，特别是跨越系统固有频率?n前后的信号失真更为严重，造成合成后的总输出产生失真。 另一方面，对实际的测试装置，也难以完全理想地实现不失真测试，并且不一定同时满足幅值不失真和相位不失真。所以，只能力求选取合适的装置，将失真限制在一定的误差范围内。同时，在测试之前，应对信号做必要的预处理，如噪声滤波、限幅等。在实际测试工作中，根据幅值失真或相位失真对我们的测试目的影响与否，确定我们更关心哪个方面的测试精确度，从而选取合适的测试设备。

对一阶测试系统，时间常数?越小，系统响应越快，近于满足不失真条件的频率范围越宽。对二阶系统而言，一般选取?=0.6～0.8，可以获得较为合适的综合特性。实验表明，当?=0.7，在0～0.58?n频率范围内，系统的幅频特性A(?)近似常数(变化不超过5％)，相频特性?(?)接近直线，产生的相位失真也很小，基本满足不失真条件。

习题与思考题

3-1测试装置的静态特性指标主要有哪些?它们对装置的性能有何影响?

3-2什么叫一阶系统和二阶系统?它们的传递函数、频率响应函数及幅频和相频特性表达式是什么? 3-3求周期信号的稳态响应。

3-4一气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，并以5m/s的上升速度通过大气层。设温度随所处的高度按每升高30m下降O.15℃的规律变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为-2℃。试问实际出现-2℃的真实高度是多少?

3-5某传感器为一阶系统，当阶跃信号作用在该传感器时，在t=O时，输出lOmV；t??时，输出lO0mV；在t=5s时，输出5OmV；试求该传感器的时间常数。

3-6 求信号z(t)=12sin(t+30o)+4sin(2t+45o)+lOcos(4t+60o)，通过一阶系统后的输出y(t)。设该系统时间常数?=1s，系统的静态灵敏度为S=25。 3-7某测试系统频率响应函数为

试求该系统对正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应。

3-8单位阶跃信号作用于一个二阶装置之后，测得其响应中产生了数值为2.25的第一个超调量峰值。同时测得其衰减振荡周期为3.14s。已知该装置的静态增益为5，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

3-9设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为1000Hz，阻尼比?=O.14，问使用该传感器作频率为500Hz的正弦力测试时，其幅值比A(?)和相角差?(?)各为多少?若该装置的阻尼比可改为?=0.7，问A(?)和?(?)又将作何种变化?

3-10如何理解信号不失真测试的条件?若要求输入信号通过系统后反相位，则对系统有何要求?

通过传递函数为H(s)=

的装置后所得到

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