专题限时集训(十五) 坐标系与参数方程

(建议用时：40分钟)

1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

π

(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

3

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． ππ

[解] (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝23.

33π

由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.

3设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点． π??在Rt△OPQ中，ρcos?θ－?＝|OP|＝2. 3??π??π??经检验，点P?2，?在曲线ρcos?θ－?＝2上．

3?3???π??所以，l的极坐标方程为ρcos?θ－?＝2.

3??

(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ， 则ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，

?ππ?故θ的取值范围是?，?.

?42?

?ππ?所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈?，?. ?42?

??x＝2cos φ2．(2019·肇庆三模)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝2，曲线C：?

?y＝2＋2sin φ?

?π?(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为?3，?.

6??

(1)求直线l1和曲线C的极坐标方程；

π??(2)在极坐标系中，已知射线l2：θ＝α?0<α

2??|OA|·|OB|＝83，求△MOB的面积．

??x＝ρcos θ，

[解] (1)∵?

?y＝ρsin θ，?

∴直线l1：x＝2的极坐标方程是ρcos θ＝2，

曲线C的普通方程为x＋(y－2)＝4，即x＋y－4y＝0，

2

2

2

2

- 1 -

所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

2

(2)将θ＝α分别代入ρcos θ＝2，ρ＝4sin θ得：|OA|＝ρA＝，

cos α|OB|＝ρB＝4sin α.

∴|OA|·|OB|＝8tan α＝83，∴tan α＝3， ππ

∵0<α<，∴α＝.

23

π

∴|OB|＝23，|OM|＝3，∠MOB＝，

6

11133

所以S△MOB＝|OM||OB|sin∠MOB＝×3×23×＝，

222233

即△MOB的面积为.

2

??x＝a＋t，

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,2)，其参数方程为?

?y＝2＋t，?

(t为参

数，a∈R)，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρ＋8sin θ＝0.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

→→

(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且PA＋2PB＝0，求实数a的值．

??x＝a＋t，

[解] (1)由?

?y＝2＋t，?

22

消去参数t，可得x－y＋2－a＝0，

2

2

2

由ρsinθ－ρ＋8sin θ＝0，得ρsinθ－ρ＋8ρsin θ＝0， ∴x＝8y.

2

?x＝a＋t，?2

(2)将曲线C的参数方程化为?

2

y＝2＋t，??2

1

2

代入曲线C2的方程，

可得t＋(22a－82)t＋2a－32＝0.

由Δ＝(22a－82)－4(2a－32)>0，解得a<4. 设点A，B对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝82－22a，t1t2＝2a－32， 28

又t1＝－2t2，联立可得a＝4(舍)或a＝. 9

?1?x＝kcos φ，??4．在直角坐标系xOy中，点?，3?在曲线C：?

?2??y＝msin φ?

2

2

2

22

(φ为参数)上，对应

- 2 -

π

参数为φ＝.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为

3

?2，π?. ??6??

(1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；

(2)设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|＋|OB|的最小值． [解] (1)点P的直角坐标为(3，1)， 曲线C的极坐标方程为ρ＝(2)由(1)知曲线C：ρ＝

2

2

2

2

4

. 2

1＋3cos θ4

. 2

1＋3cos θ由A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，

π?4?22

不妨设A(ρ1，θ)，B?ρ2，θ＋?，且|OA|＝ρ1＝， 2

2?1＋3cosθ?4422

|OB|＝ρ2＝＝. 2

π?1＋3sinθ2?1＋3cos?θ＋?2??442222

∴|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝＋＝ 22

1＋3sinθ1＋3cosθ20

1＋3sinθ2

1＋3cosθ2

＝

2016≥＝.

92954＋sin2θ4＋44

20

16222

当sin2θ＝1时，|OA|＋|OB|的最小值为.

51622

∴|OA|＋|OB|的最小值为.

5

题号 内容 直线的参数方1 程、椭圆的极坐标方程 圆的参数方2 程、直线的极坐标方程 押题依据 直线的参数方程中参数的几何意义及其应用是每年高考的热点，本题考查了椭圆的极坐标方程与普通方程的转化以及利用直线参数方程中参数的几何意义解决直线与曲线的相交问题，较好地考查了学生的逻辑推理的核心素养 本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化和极坐标中的极角，极径的几何意义的应用，这也是每年高考的热点内容，试题难度中等，能够较好地考查学生逻辑推理及数学运算等核心素养 - 3 -

??x＝2t?【押题1】 (2019·湛江二模)在直角坐标系xOy中，点M(0,1)，直线l：

?y＝1＋t?

(t2

为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ＋ρcos 2θ＝24.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

11

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求＋的值．

|MA||MB|[解] (1)∵7ρ＋ρcos 2θ＝24，∴7ρ＋ρ(2cosθ－1)＝24， 又∵ρ＝x＋y，x＝ρcos θ， ∴曲线C的直角坐标方程为：＋＝1.

43

2x＝t??5

(2)将直线l的参数方程化为标准形式为：?1

y＝1＋t??5代入曲线C方程，得19t＋65t－45＝0.

2

2

2

22

2

2

2

2

2

y2x2

(t为参数)，

Δ>0恒成立，∴t1＋t2＝－

1

1

1

1

6545

，t1t2＝－. 1919

|t1－t2|

∴＋＝＋＝＝|MA||MB||t1||t2||t1t2|t1＋t22－4t1t24

＝. |t1t2|3

【押题2】 (2019·宝鸡三模)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

??x＝2＋2cos α，

???y＝2sin α

(α为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线

l的极坐标方程为ρ(sin θ＋3cos θ)＝3.

(1)求C的极坐标方程；

??ππ??(2)射线θ＝θ1?θ1∈?，?，ρ>0?与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求

??63??

|OP|·|OQ|的取值范围．

[解] (1)圆C的普通方程是(x－2)＋y＝4，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ； 所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)设P(ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1，

设Q(ρ2，θ1)，且直线l的方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝3， 3

则有ρ2＝，

sin θ1＋3cos θ1

2

2

- 4 -