0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立
，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2
﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：为
，
+
=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率
∴
，又a2=b2+c2，
解得a=2，b=，
．
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，
①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0）， 则
，
∴S=|2x0|?|y0|=|x0|?|y0|=2当且仅当
=2﹣
≤=2，
，即|y0|=1时，取等号，
此时直线l的方程为y=±1．
②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立
，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，
由△=（8km）2﹣4（1+4k2）?4（m2﹣2）＞0， 解得8k2+2＞m2，（*）
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，
∴PQ中点为（﹣
，
， ），
∵|AP|=|AQ|，∴
，化简得1+4k2=3m，
结合（*）得0＜m＜6， 又O到直线l的距离d=
，
|PQ|=
|x1﹣x2|=
，
∴S=|PQ|?d=?
∴当m=3时，S取最大值2，此时k=综上所述，直线l的方程为y=±1或y=
==
，直线l的方程为y=
．
，
．
【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．
21．（12分）设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数
（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；
（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；
（Ⅱ）根据函数的单调性，令x2∈（﹣，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2）令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），根据函数的单调性判断即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aeax+
=
，（x＞0），
，
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令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0， 求导得：g′（x）=aeax（1+ax）， 令g′（x）=0，解得：x=﹣，
x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减， x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣， ∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0， ∴g（﹣）g（0）＜0， 而x→+∞时，f′（x）→λ＞0， ∴函数f（x）有两个极值点； （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 不妨令x2∈（﹣，+∞）， 故ax2
+λ=0，
，
故f（x2）=（1﹣ax2lnx2）
令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞）， h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）=0， ∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数， ∴函数f（x）有唯一零点．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分） 22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ=为ρ2=
与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
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（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求【分析】（Ⅰ）射线l：θ=
与圆C：ρ=2交于点A（2，
?的取值范围．
），可得点A的直角坐
标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程； （Ⅱ）设F（值范围．
【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=标（
，1）；
，直角坐标方程为
+y2=1，参数方程为
与圆C：ρ=2交于点A（2，
），点A的直角坐
cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求
?
的取
椭圆Γ的方程为ρ2=
（θ为参数）；
（Ⅱ）设F（
cosθ，sinθ），
∵E（0，﹣1）， ∴∴∴
=（﹣??
，﹣2），
=（
cosθ﹣
，sinθ﹣1）， sin（θ+α）+5， ]．
=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=的取值范围是[5﹣
，5+
【点评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分） 23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞） （Ⅰ）求x0的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值． 【分析】（Ⅰ）不等式转化为可求x0的值；
（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可
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或，解得x＞2，即