（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？ （Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．

【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，两个群体中各应抽取多少人．

（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．

（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算． 【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表： 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 80岁及以上 80岁以下 20 200 45 225 20 50 15 25 不能自理 从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一

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步了解他们的生活状况， 80岁及以上应抽取：8×80岁以上应抽取：8×

=3人， =5人．

（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：

，

用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万， 用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为

=2.75%．

（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元， P（X=0）=， P（X=120）=P（X=200）=P（X=220）=P（X=300）=

====

， ， ， ，

则随机变量X的分布列为：

X P EX=

0 120 200 =28，

220 300 全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元． 政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．

【点评】本题考查分表图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及应用，是中档题，历年高考中都是必考题型之一．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点 （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；

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（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．

（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF， ∵E是PB中点，∴EF

AB，∴CD

EF，

∴四边形CDEF为平行四边形， ∴DF∥CE，

又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE， 又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE，

又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE． 解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD， ∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，

∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD， 以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示， 设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，，

），

），D（0，2，0），E（2，

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∴=（2，），=（0，2，0），

设平面ADE的法向量=（x，y，z），

则，取z=﹣4，得=（），

由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴∴cos＜

＞=

=

=（0，1，

=﹣．

）是平面CDE的一个法向量， ，

∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

20．（12分）已知椭圆C：（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为由此能求出椭圆C的方程；

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠

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+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．

，列出方程组求出a，b，