1?2acos??a2?1?a(z?z?1)?a2?故I?(z?a)(1?az),

z

《复变函数》考试试题（六）参考答案

二、填空题：1. ?1?ei 2. z??1 3. 2? 4. 1 5. 1dz1, 且在圆内只以f(z)?z?1i?z?1(z?a)(1?az)(z?a)(1?az)z?a为一级极点, 在

z?1上无奇点,

故

Rez?asf(z)?11?az?12,(0?a?1), 由残数定理有 z?a1?aI?1i2?iRez?asf(z)?2?1?a2,(0?a?1).

4. 解 令f(z)??z, 则f(z),?(z)在z?1内解析, 且在C:z?1上,

?(z)?1?f(z),

所以在z?1内, N(f??,C)?N(f,C)?1, 即原方程在 z?1内只有一个根. 四. 证明题. 1.

证

明

因

为

u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0, 故ux?2x,uy?2y,vx?vy?0.

这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z?0处满足C.?R.条件, 故f(z)只在除了z?0外处处不可微.

2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n 时,

f(k)(0)?k!f(z)k!Mrn2??z?rzk?1dz?rk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0.

n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.

k?0 1

6. m?1阶 7. 整函数 8. 9. 10. 欧拉公式 三、计算题： 1. 解：因为

2?i6?19?136?56?1, 故lim(2?in??6)n?0. 2. 解：

1?i?2?3,

?f(z)?1f(?)2?i?C??zd? ??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)?2?i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)

f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

0 13

ez3.解：z2?1?ez2?(1z?i?1z?i)

),i)?ei ?Res(f(z2.

?(?1)n(z3)2n?14.解：sinz3??,n?0(2n?1)!

?sinz3?(?1)n 6n?3z6??n?0(2n?1)!z.

5．解：设z?x?iy, 则w?z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yiz?1?z?1?iy?(x?1)2?y2. ?Rew?x2?y2?1(x?1)2?y2,Imw?2y(x?1)2?y2.

?6．解：e?3i?cos(??3)?isin(??3)?12(1?3i).

四、1. 证明：设f(z)?9z6,?(z)?z7?6z3?1,

则在z?1上，f(z)?9,?(z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z).

根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数

为6.

2.证明：设v(x,y)?a?bi，则vx?vy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此?(x,y)?D有 ux?vy?0, uy??vx?0.

于是u(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数.

3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)mg(z)， 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0， 于是

1f(z)?11(z?zm? 0)g(z)由g(z10)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此

g(z)在内D11解析，故z0为

f(z)的m阶极点. 14

《复变函数》模拟考试试题

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ）

3、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )

4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ） 7、若limz?zf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）

08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ）

10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分）

1、若C是单位圆周，n是自然数，则?1C(z?z0)ndz?__________。

2、设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则

zlim?1?if(z)?_________。

3、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________。 ??4、?nzn的收敛半径为_________。

n?0、Res(ez5zn,0)?_____________。

三、计算题（8x5=40分）： f(z)?11、设(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展

式。

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?1dz|zez?1|?1sinzdz?2、求

2?i?|z|?3(z?1)(z?4)。

3、求函数sin(2z3)的幂级数展开式。 4、求f(z)?1(z?1)(z?2)在2?|z|???内的罗朗展式。5、求z4?5z?1?0，在|z|<1内根的个数。

《复变函数》考试试题（二）

一、判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ） 2、有界整函数必为常数。（ ）

3、若{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛。( )

4、若f(z)在区域D内解析，且f'(z)?0，则f(z)?C（常数）。（）

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