2. 当z?___时，ez为实数. 3. 设ez??1，则z?___.

4.

ez的周期为___.

5. 设

C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.

6. Res(ez?1z,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

?1C(z?a)ndz?___.

（n为自然数） 三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数z?1的实部与虚部.

2. 计算积分：

I??LRezdz，

在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.

求积分：I??d?01?2acos??a2，其中0

4.

应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里

?(z)在|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R

及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

5

证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）

1.

一、填空题（20分） 1. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，则limzn?___________. 2. 设

f(z)?1z2?1，则

f(z)的定义

域

为

____________________________.

3. 函数sinz的周期为_______________________. 4.

sin2z?cos2z?_______________________.

??5. 幂级数

?nzn的收敛半径为________________.

n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.

7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题（30分）

n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),i).

、求函数sinz34z6在0?z??内的罗朗展式.

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值.

三、证明题（20分）

1、 方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，

则f(z)在D恒等于常数.

6

3、 若z的m阶零点，则z10是f(z)0是f(z)的m阶极点.

６．计算下列积分．（８分） sinz2(1)

?z?2 (2)

(z??dz；2?z?2z?4z2(z?3)dz．

2)７．计算积分

?2?d?05?3cos?．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

?)n?(1) ?(1?izn； (2) (n!)2nn?1?nz．

n?1n９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分） 三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分）

２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题（一）参考答案

二．填空题

1. ??2?in?1?0n?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 1

6. 整函数； 7. ?； 8. 1(n?1)!； 9. 0； 10. ?.

三．计算题.

1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1

? f(z)?111n1?zn(z?1)(z?2)?1?z?2(1?z?)?z?n?02?(). n?0222. 解 因为

z??Resf(z)?21?limcosz?lim??1, z?2z??2z??2?sinz7

z??Resf(z)?lim2z???2z???2cosz?lim1?1. z???2?sinz所以

?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0. z???2z??23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内,

f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z).

所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则

w?z?122a(?1?z?1?1?z?1?1?bi)(a?12)?b2?1?2a(?1)b2(a?21)?b2?a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?z?1)?1?1)z?12b(a?1)2?b2, Im(z?1)?(a?1)2?b2. 四. 证明题.

1. 证明 设在D内f(z)?C.

令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.

两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2

)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为

??uux?vvx?0. 消去u2vux得, (u2?v)vx?0. ?x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数.

2)

若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0,

vy?0.

所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的

z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角

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